Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
что если частота на входе много меньше этой частоты, то амплитуда на
выходе (т. е. амплитуда последнего от входа маятника) много меньше
входной амплитуды. Таким образом, частота самой низкой моды также
является граничной частотой.
Рассмотрим нашу систему из двух связанных маятников (рис.3.3). При
конфигурации, соответствующей первой моде, все маятники колеблются в фазе
и с одинаковой амплитудой. Пружина не деформирована, и возвращающая сила
создается только силой тяжести,
123
Таким образом, частота колебаний coi равна \ g)l. Теперь предположим, что
на вход системы действует сила с частотой со, которая меньше, чем coi-
Тогда в установившемся режиме возвращающая сила, приходящаяся на единицу
смещения и на единицу массы, должна быть меньше, чем git, для каждой гири
маятника. Возвращающая сила, действующая на маятник на входном конце
системы, образуется внешней силой. На второй маятник будет действовать
возвращающая сила, образованная силой тяжести и пружиной. Единственная
возможность, чтобы возвращающая сила на единицу смещения и на единицу
массы для этого маятника была меньше
gII, заключается в том, что вклад пружины в величину возвращающей силы
должен быть обратного знака по сравнению с вкладом от силы тяжести. Легко
показать, что в этом случае смещение маятника b будет меньше, чем
маятника с, но того же знака. (Пружина растянута.) Таким образом, оба
маятника колеблются, имея разность фаз, соответствующую первой моде, но
разные амплитуды. (Колебания маятника b имеют меньшую амплитуду, чем
маятника а.)
Такой же результат будет и в случае системы из трех или более связанных
маятников, находящихся под внешним воздействием, частота которого меньше
частоты самой низкой моды. Относительные фазы колебаний маятников будут
те же, что и в первой моде, а амплитуда будет уменьшаться с удалением от
входа системы. Это показано на рис. 3.7. Лучший способ понять рис. 3.7 -
это считать, что частота внешней силы равна нулю. Если сила постоянна, то
маятники це будут двигаться, и интуиция немедленно подсказывает нам, что
расположение маятников получится таким же, как на рис. 3.7.
Терминология. Диапазон частот, заключенный между нижней и верхней
граничными частотами, называется полосой пропускания фильтра. Для частот
внешнего воздействия, находящихся в пределах полосы пропускания,
амплитуда на выходе сравнима с амплитудой на входе. Для частот внешнего
воздействия вне полосы пропускания амплитуда на выходе меньше амплитуды
на входе. Поэтому такая система называется полосовым фильтром. Если
граничная частота со стороны низких частот равна нулю (т. е. если самая
низкая мода имеет нулевую частоту), то система называется фильтром низких
частот. Например, если в системе связанных маятников нити подвеса гирь
сделать бесконечно длинными, то можно считать, что положение маятника
всегда вертикально и возвращающей силы не возникает. (Действие нитей
подвеса будет эквивалент-124
Рис. 3.7. Механический фильтр. Частота вынуждающей силы меньше частоты
первой моды. Относительные фазы маятников совпадают с фазами первой моды.
Амплитуда "на выходе" (маятник с) меньше амплитуды "на входе" (маятник
а).
но действию поверхности стола без трения.) В этом случае частота самой
низкой моды равна нулю. Такая система представляет собой фильтр низких
частот. Он пропускает частоты от нуля до верхней граничной частоты.
Если частота самой низкой моды отлична от нуля, а частота самой высокой
моды бесконечно велика, то система называется фильтром высоких частот.
Например, если в системе связанных маятников отношение К/М стремится к
бесконечности, то мы получим фильтр высоких частот. Пружины в этом случае
настолько жесткие (или массы настолько малы), что они всегда обеспечивают
значительную величину возвращающей силы на единицу массы и единицу
смещения, без постепенного уменьшения амплитуд, независимо от того, сколь
велика частота вынуждающей силы.
Система из двух, трех или большего числа маятников, возбуждаемая с
помощью проигрывателя, может быть хорошей иллюстрацией свойств полосового
фильтра. (См. домашний опыт 3.16.)
Пример 4. Механический полосовой фильтр. Система из двух связанных
маятников, возбуждаемая с одного из концов (рис. 3.3), представляет собой
простой механический полосовой фильтр. Покажите (задача 3.28), что
отношение входной и выходной амплитуд (затуханием пренебрегаем) равно
Заметим, что, когда частота со равна одному из резонансных значений ((r)1
либо со2), отношение амплитуд такое же, каким оно'было бы для
соответствующей моды: фь/фа= +1 для (c)=(c)! и фь/,фа=-1 для (о=со2. Когда
(остановится меньше частоты самой низкой моды, отношение амплитуд
остается положительным и уменьшается от + 1 при со-ti>i до (col-
(r)?)/(co!+(r)i) при со=0. Таким образом, колебания с частотой много меньшей,
чем нижняя граничная частота, сильно ослабляются при прохождении через
фильтр, если ширина полосы пропускания мала по сравнению со средней
