Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рис 2 19 Колебания в ограниченной плазме
(Мы пренебрегаем другими силами, действующими на электрон, которые
появляются из-за столкновений электронов и ионов; в среднем эти силы
равны нулю и не оказывают влияния на перенос заряда )
Теперь предположим, что в 1 см3 содержится N электронов и каждый электрон
смещен на расстояние х от положения равновесия. Полный заряд на одной
стенке ("отобранный" от другой стенки) равен
Q = Nq Ах. (97)
Дифференцируя уравнение (97) дважды по времени и используя уравнения (96)
и (95), получим
d2Q 4я JMq2
~dt*
Решение этого уравнения
:Q¦
(98)
где
Q = Q0 cos(cttf + ф), 4лМе2
СО
: СО
Р'
Величина ар называется частотой колебаний плазмы или критической
частотой,
93
Плотность свободных электронов в ионосфере изменяется с высотой и
временем суток. Рекомбинация электронов и ионов в нейтральные молекулы
начинается после заката Солнца, когда образование новых ионов
приостанавливается. Поэтому плотность электронов ночью уменьшается. Для
дневного времени типичное значение частоты колебаний плазмы равно
vp= 10-Г- 30 Мгц, (100)
что соответствует плотности электронов Nx\О6~-1О7 электронов!см3.
Пример из квантовой физики. Гипотеза де Бройля приписывает частице с
импульсом р волновое число k, определяемое из равенства p=%k. "Боровское
условие частот" утверждает, что частица с энергией Е имеет волновую
частоту о), определяемую равенством Е=%о). Объединив оба эти утверждения,
можно найти дисперсионное соотношение между о) и k для частиц. Оно
следует из связи между Е и р. В дополнении 2 разобраны соответствующие
примеры.
Задачи и домашние опыты
2.1. Опыт. Зависимость частоты колебаний "пружины" от ее длины. Возьмите
левой рукой первый виток "пружины", а правой - последний. Расстояние
между руками должно быть около 1 м. Измерьте частоту вертикальных
поперечных колебаний. (Не беспокоитесь о том, что "пружина" сильно
провисла.) Теперь растяните "пружину" как можно больше. Измерьте частоту.
Далее, закрепите как-нибудь оба конца "пружины", чтобы полная ее длина
равнялась 2,5-3 м. Измерьте частоту. Объясните результаты. Используйте
эти результаты измерения частоты, чтобы определить коэффициент упругости
"пружины", приходящийся на один виток. Пусть Аф - полное число витков
"пружины". Закрепите пружину таким образом, чтобы свободными были N из Аф
витков. Перед опытом предскажите зависимость частоты от N/N0. Затем
сделайте опыт, проверьте предсказание.
2.2. Опыт. "Пружина" как непрерывная система. Привяжите концы растянутой
до 2,5-3 м "пружины" к неподвижным предметам. Не беспокойтесь о
провисании "пружины". Возбудите первую моду колебаний в каждом из
поперечных направлений. Измерьте частоты этих двух мод. Возбудите также
первые моды продольных колебаний и измерьте их частоту. (Есть два хороших
способа возбудить желаемую моду. Первый заключается в том, чтобы придать
"пружине" соответствующую форму и затем отпустить, а второй - в том,
чтобы слегка трясти "пружину" с нужной частотой, взявшись за нее около
одного из концов, и, возбудив достаточную амплитуду колебаний, отпустить
"пружину". Используйте оба метода.) Затем подумайте, как возбудить вторую
моду, для которой длина L равна двум полуволнам. Сделайте это для всех
трех направлений: х, у и г. Измерьте частоты. При некотором навыке вы
смогли бы возбудить третьи моды.
Теперь возбудите первую моду вертикальных колебаний и одновременно вторую
продольную моду. (Это легко можно сделать при соответствующих условиях).
Посмотрите на систему и измерьте частоту биений между продольной (второй)
модой и в два раза более низкой вертикальной модой. При некоторой
практике это легко сделать. Это хороший способ убедиться, что основная и
первая "октавы" отличаются по частоте в два раза. Точно так же вы легко
можете одновременно возбудить самую низкую вертикальную моду и вторую
горизонтальную моду.
2.3. Нулевые измерения. Прочтите опыт 2.2 (для выполнения этой задачи вы
можете его и не делать). Предположим, что вы определяете частоту
колебаний в "пружине", считая число циклов колебаний за 10 сек и затем
деля число циклов на время. Предположим далее, что вы можете читать
показания часов с точностью
94
+ 1 сек, а определять число полных циклов с точностью + V4 цикла. Частота
самой низкой моды Vj около 1 гц. Частота v2 второй моды около 2 гц.
а) Оцените грубо, с какой точностью ваши измерения могут определить
величины v4 и v2. (Ответ нужно дать в виде "v1=l,0+0,1, v2=2,0+0,2".)
б) Теперь предположим, что вы одновременно возбуждаете обе моды и
измеряете частоту биений между 2vt и v2, как описано в опыте 2.2. Это
можно сделать, наблюдая за биениями в течение 10 сек, т. е. в течение 10
циклов v4. Предположим, что за это время вы не зарегистрировали биения
между 2v4 и v2 с точностью V4 биения. Таким образом, ваш
экспериментальный результат: v2-2v1=0. Чему равна экспериментальная
точность? (Дайте ответ, например в виде "v2-2v4= =0+0,10v1"). Чему равна
