Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
однако, что поведение схемы не может зависеть от ее пространственной
конфигурации. Что же следует понимать под величиной ka в дисперсионном
соотношении и в уравнениях (86) и (87)? Когда понятие длины по оси z
имело физический смысл, например для колебаний струны, величина k имела
смысл изменения, на единицу длины по оси г, фазы функции Л sin kz+B cos
kz, определяющей форму моды. В случае системы с сосредоточенными
параметрами, например для струны с грузами, мы пишем г=па, где п= 1,
2,.., - номер груза, В этом случае величина ka представляет собой про-
изведение числа радиан фазы, приходящихся на единицу длины, на расстояние
а между грузами. Таким образом, ka-это число радиан, на которое
возрастает фаза при переходе от груза п к грузу п+1. В случае системы с
сосредоточенными емкостями и индуктивностями величина ka также равна
возрастанию фазы у функции A sin nka + В cos nka при переходе от одной
индуктивности к соседней. Мы можем в этом случае обозначить ka, например,
через 0. Однако в такой, несколько абстрактной, записи исчезает
математическая симметрия механических и электрических примеров, поэтому
L L L L
-г-гуъ. <Г?Г' N
II С-. С* - итЛ : -( ( -.с с--.
a Za (N-ija Na
Рис. 2.16. Цепочка из связанных индуктивностей и емкостей. а) Параметры;
б) токи и заряды в п-й ячейке в общем случае.
мы будем условно считать, что "расстояние" между индуктивностями равно а.
Другие формы дисперсионных соотношений. Обратите внимание, что у всех
рассмотренных нами систем с сосредоточенными параметрами один и тот же
закон дисперсии:
(c) (k) = (c)max Sin -у . (88)
График этой зависимости показан на рис. 2.13. Частота сотах представляет
собой константу, характеризующую данную физическую систему. Причина такой
универсальности написанного соотношения в том, что у всех рассмотренных
систем возвращающая сила, действующая на массу (или индуктивность),
является результатом связи массы с соседними массами и пропорциональна
относительному смещению масс. Существует, однако, много других интересных
и важных форм дисперсионных соотношений. Например, имеются системы, у
которых возвращающая сила, действующая на движущийся элемент, имеет две
независимые компоненты. Одна компонента возникает из-за связи данного
элемента с подобными соседними движущимися элементами. Для этой
компоненты дисперсионное соотношение имело бы вид (88). Вторая компонента
возникает из-за связи с некоторой "внешней" силой. Вклад этой компоненты
зависит
89
только от смещения движущегося элемента относительно положения
равновесия, а не от смещения относительно соседних элементов. Если бы
движение вызывалось только этой силой, то движущиеся элементы не были бы
связаны, а их смещения были бы нормальными координатами системы. Такая
система рассмотрена в следующем примере.
П р и м е р 5. Связанные маятники. Система показана на рис. 2.17, На
каждую массу действуют возвращающие силы двух типов.
,////////////////////////////^ y///////////////////////.
а)
I
К
I
К итЛ
И
n=t
z=a
К
м
2
2а
М
Н-1
(N-ija
М
Н
На
71-1 п п+1
б)
и т. д.
у^итЛ
Рнс. 2 17. Связанные маятники а) Равновесное положение; и) общи Л случаи.
"Внешняя" сила (она создается силой тяжести) пропорциональна смещению
массы от положения равновесия и не зависит от относительного смещения
масс. Вторая сила возникает из-за того, что массы связаны между собой
пружинами, и зависит только от взаимного расположения масс. Попытаемся
угадать дисперсионное соотношение для такой системы. Если бы мы имели
только связанные пружинами массы (т. е. если бы g равнялось нулю),
дисперсионное соотношение отвечало бы случаю продольных колебаний
связанных масс, а возвращающая сила на единицу длины и единиц} массы (т.
е. величина со2) была бы равна
со2 = 4 ~ sin2 ~ (если g = 0). (89)
Теперь предположим, что (при?=0) происходят колебания, соответствующие
какой-то моде, форма которой определяется значением k, а величина k в
свою очередь определяется из граничных условий. Вообразим, что, используя
"ручку управления гравитацией", мы
90
можем постепенно включать силу тяжести, увеличивая g от нуля до конечного
значения (980 см/сек2). (Можно придумать и более реальный способ
включения силы тяжести. Как это сделать?)
Если мы увеличим g от нуля до очень малого значения g', то вклад в
возвращающую силу со2 для каждой массы будет одинаков и равен g'H. Это
означает, что массы будут продолжать колебаться с той же геометрией моды,
с тем же значением k, с той же линейной комбинацией sin kx и coskx, но
колебания будут совершаться немного быстрее. Это можно объяснить
следующим образом. При g=О на все массы действовала одна и та же
возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы. Включив g', мы
прибавим к уже имевшемуся значению со2 одну и туже величину g' II.
Поэтому мода колебаний сохранится, но произойдет увеличение со2. Включая
g постепенно, мы предотвратим перемешивание мод и сохраним их форму.
