Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
kyL - л, АХ = 2л, ..., kNL = Nn. (80)
Закон дисперсии для этого случая имеет тот же вид, что и на рис. 2.13.
Сосредоточенные и распределенные параметры. При изучении поперечных
колебаний струны с грузами мы совершили предельный переход к непрерывной
струне, устремляя а (расстояние между двумя соседними грузами) к нулю
(при неизменной длине L). Когда отношение а/к настолько мало, что
становится пригодным непрерывное приближение, можно использовать другую
физическую модель такой системы. Вместо того, чтобы устремлять а к нулю,
имея дело с моделью, составленной из невесомых пружин, чередующихся с
точечными массами, можно равномерно распределить массу вдоль пружины. В
этом случае уже не будет сосредоточенных масс и невесомых пружин. Вместо
этого у нас есть одна длинная пружина с распределенной вдоль нее массой.
Хорошим примером такой модели может служить "пружина". Элементом
повторяющейся длины а здесь будет шаг одного витка спиральной пружины.
Параметрами М и К являются соответственно масса и коэффициент жесткости
одного витка. Если у нас N витков (теперь N - это уже не число степеней
свободы), то полная масса равна NM, а коэффициент жесткости для всей
пружины (т. е. для пружины длиной L=Na) равен KIN. (Коэффициент жесткости
пружины, составленной из двух последовательно соединенных пружин, равен
половине коэффициента жесткости составных пружин).
Вместо того, чтобы иметь дело с длиной а (шаг одного витка), мы можем
оперировать с величиной М1а=р0, представляющей собой плотность
распределения массы. Аналогично, коэффициент жесткости одного витка
пружины К можно заменить величиной, характеризующей материал пружины и ее
конструкцию. Такой величиной является отношение К~х/а. Это видно из
следующего. Для пружины длиной L=Na коэффициент Ki в jV раз меньше К'.
KL = -WK = TK- (81)
Таким образом, справедливо равенство
KL-L = Ka.
Отсюда видно, что произведение Ка характеризует "пружинистость" материала
и не зависит от длины пружины. Последнее равенство
86
можно переписать следующим образом:
к-1
а
К7
(82)
из которого также видно, что отношение величины, обратной коэффициенту
жесткости пружины, к длине пружины есть величина постоянная.
Пример 3. "Пружина"*). "Пружина" представляет собой спиральную пружину,
имеющую примерно Л^лПОО витков (рис. 2.15), Диаметр каждого витка около 7
см, а длина "пружины" в нерастянутом состоянии близка к 6 см. При
растяжении до длины L в несколько метров такая "пружина" очень хорошо
удовлетворяет приближению "пружины". Соответствующая длина повторения а
определяется длиной, приходящейся на один оборот, т. е. отношением a=UN.
Если коэффициент жесткости пружины для одного витка К, то К~1/а не
зависит от длины L. (Считается, что масса распределена, а не
сконцентрирована между интервалами длины а.) Дисперсионное соотношение
для случая продольных колебаний получается путем предельного перехода от
уравнения (78) к непрерывной системе:
a (k) = 2 ~\f Тл sl" _
ka
Т'
т+
.A'kjiz*?'
1/С Ка_ ^ V М/а
(83)
Рис 2 15 "Пружина", лежащая на столе в сжатом и слегка растянутом
состояниях.
Дисперсионное равенство (75)]:
соотношение для поперечных колебаний [см,
ш{к)га Yw"ka V
Ка
М/а
к,
(84)
так как Т0=К/й. в приближении "пружины". Таким образом, дисперсионное
соотношение для продольных и поперечных колебаний "пружины" одно и то же.
Поэтому, если граничные условия одинаковы (например, оба конца
закреплены), то моды колебаний
*) См. сноску на стр. 24.
87
относительно х, у и z имеют одинаковую последовательность волновых чисел
и частот.
Убедитесь сами в том, что продольные и поперечные моды имеют одинаковые
частоты. Усиленно рекомендуем проделать домашние опыты, в которых
участвуют "пружины". Это поможет понять свойства волн.
Пример 4. LC-цепочка. Рассмотрим последовательность связанных емкостей и
индуктивностей, показанную на рис. 2.16. С помощью рис. 2.16, б (вспомним
случай N=2, п. 1.4) легко показать, что э, д. с., действующая на п-ю
индуктивность, равна
L^f = - С-ЧЗ'+С-ЧЗ.
Тогда
I с-1 - 4-С-1 -
dt* dt ' dt
Используя закон сохранения заряда для исключения dQ'ldt и dQ/dt, этому
уравнению можно придать вид
L^ = -C~1 Vn-In + 1] =
= (85)
Уравнение (85) имеет ту же форму, что и уравнение (77) для продольных
колебаний системы из связанных масс и пружин. Поэтому, не заботясь пока о
граничных условиях, мы можем записать дисперсионное соотношение и общее
решение для токов в индуктивностях. Дисперсионное соотношение получается
заменой К/М на С_1Д-в уравнении
(78):______________________________________
co(fe) = 2 j/^sin-. (86)
Общее решение уравнения (85) для отдельной моды без учета граничных
условий имеет вид
/" (t) = [Л sin tika + В cos tika] cos [ш (k) t + tp], (87)
где константы Л и В и последовательность значений k, соответствующих
разным модам, зависят от граничных условий на концах системы.
Физический смысл ka. Вы могли заметить, что в уравнение (85) не входит
расстояние а. На рис. 2.16 мы условно показали это расстояние, понимая,
