Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 36

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 263 >> Следующая

Фя-1(0 = ^п-1соз(со^+ф); ф" = ЛЛсоэсо^ + ф); (63)
Фл+1 (0 = Ап+1cos(со^ + ф); ...
Из уравнений (63) получим
(t)
dt2
-со2/4" cos (cot -ф ф) = -со2ф"(^).
(64)
Подставив уравнение (64) в левую часть (62), а (63) в правую часть (62) и
сократив на cos (оЦ+ф), получим
т. е.
-Ма,*Ап = ^(Ап+1-2А" + Лп-1), Ап+1+А".1 = А"(2-^^у
(65)
80
Уравнение (65) выглядит "устрашающе". Оно определяет зависимость формы
моды от угловой частоты. Попытаемся угадать его * решение, опираясь на
известное нам решение для мод непрерывной струны с закрепленными в точках
2=0 и z=L концами. Для этой задачи мы нашли, что моды имеют вид
Конечно, наше решение для Ап должно в пределе (при стремлении п к
бесконечности) переходить в уравнение (66).
Попытаемся найти решение, положив в (66) z=na:
Точное дисперсионное соотношение для струны с грузами. Предположим, что
уравнение (69) справедливо для любого груза п, независимо от того, равно
или нет Ап нулю в данной моде. Поэтому мы можем рассматривать груз,
который находится вне узловой точки, т. е. груз, для которого Ап не равно
нулю. После сокращения на Ап получим условие, которому должна
удовлетворять наша догадка, чтобы быть на самом деле решением:
Выражение (70), связывающее частоту (о и длину волны Я (или волновое
число) для данной моды, называется дисперсионным соотношением для струны
с грузами.
Граничные условия. Мы еще не учли полностью граничные условия. Написав
формулу (67) вместо более общего выражения
мы удовлетворили граничному условию в 2=0, заключающемуся в том, что
смещение струны в этой точке для любой моды равно нулю. Действительно,
полагая z=na=0 в (71) и требуя, чтобы А(1=0, мы
А (г) = A sin - = A sin kz.
(66)
Ап = A sin -= A sin kna.
(67)
Тогда
Л"+1 = A sin k (n-f 1) а = A sin (kna-^ka) =
= A (sin km cos ka + cos kna sin ka), = A sin k (n- 1) a = A sin (kna-ka)
=
= A (sin kna cos ka - cos kna sin ka)', Л"+1 + /4"_1 = 2/4 sin kna cos ka
= 2An cos ka. (68)
2 cos ka = 2--=r" (o2, * 0
т. e.
(70)
An = A sin kna -f- В cos kna,
(71)
81
получим, что В=0. Мы должны также удовлетворить граничному условию в
точке z=L, согласно которому смещение в этой точке также равно нулю.
Стена в точке z=L соответствует "закрепленному грузу М+1", поэтому AN+1
следует положить равным нулю:
ЛЛ+1 = A sinft (N + 1) а = A smkL - 0. (72)
Существует N возможных решений уравнения (72). Каждое решение
соответствует определенной моде т, где т= 1, 2 Мы нумеруем моды так, что
мода т- 1 имеет самую большую длину волны. Имеем
ktL - n, kzL = 2я, ..., kmL = trm, ..., kNL = Nn. (73)
Существование лишь N решений объясняется тем, что последний член в (73)
соответствует полностью "зигзагообразной" конфигурации. Закрепленный в
точке 2=0 первый отрезок струны подымается вверх до первого груза, после
чего второй отрезок струны опускается вниз до второго груза, ..., отрезок
ЛГ+1 опускается (или подымается) от груза N к стене. Уравнение (72) может
иметь дальнейшие решения: kN+1L=(N+l)n, kN+iL=(NJr2)n и т. д., но, чтобы
осуществить все "зигзаги", которые заключают в себе эти решения, нужно
иметь струну с числом сегментов большим, чем у нас.
Уравнение (65) для мод было получено без рассмотрения граничных условий.
(На рис. 2.11 нет никаких границ). Наиболее общее решение этого уравнения
имеет вид (71), где В!А и k определяются из граничных условий. Если
подставить решение (71) в уравнение (65), то мы найдем дисперсионное
соотношение (70), не зависящее от граничных условий, т. е. от величин А,
В и k. Сделайте это сами (задача 2.19). Для наших граничных условий
(струна закреплена в точках z=0 и z=L) моды определяются уравнением (72),
с коэффициентами km из уравнений (73), а частоты (от следуют из уравнения
(70). Заметим, что моды, следующие из уравнений (73), те же, что и в
случае непрерывной струны. Разница лишь в том, что у непрерывной струны
N=oo и для нее нельзя указать самой высокой моды. Заметим также, что у
струны с грузами сегменты между грузами являются отрезками прямой, а не
гладкими синусоидальными функциями. На рис. 2.12 показан случай, когда N-
5.
На рис. 2.13 показан график дисперсионного соотношения, определяемого
уравнением (70):
(r)(*)=2 ~Ма sin ~Т ' <74)
Пять точек на графике дают Ьш для пяти мод струны с пятью грузами,
закрепленной с обоих концов. При другом числе грузов или при других
граничных условиях (например, свободный конец в точке z=L) точки,
соответствующие различным модам, будут лежать в других местах этой же
кривой ю (k), Таким образом, рис. 2.13 годится для любой струны с
грузами.
Непрерывное приближение, или приближение длинных волн. В приближении
непрерывно распределенной массы мы предпо-
82
лагаем, что между z=0 и z=L имеется бесконечное число грузов. В этом
случае а стремится к нулю. Интересно выяснить, как ведет себя наше точное
дисперсионное соотношение, если а очень мало, но не равно нулю. Когда мы
говорим, что расстояние а мало, мы
1)
I
2)\
tofiTg/Md-Zm^j~
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed