Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
одинаковой частотой и фазой. Когда вся система представлена одной модой,
она пульсирует и "трепещет", как один большой осциллятор.
Каждая мода имеет свою "форму", т. е. свою собственную функцию Ат(г).
Соотношение между частотой моды и ее формой называется дисперсионным
соотношением со (k), когда собственные функции имеют вид синусоид. Если
они не синусоидальны, мы не можем оперировать такими понятиями, как длина
волны или волновое число k. В этом случае соотношение между частотой моды
и ее формой не принято называть "дисперсионным соотношением".
2.4. Моды дискретной системы с N степенями свободы
В п. 2.2 мы рассмотрели непрерывную струну, которая представляет собой
систему с бесконечным числом степеней свободы. Никакая реальная
механическая система не имеет бесконечного числа степеней свободы, а мы
заинтересованы в изучении реальных систем.
78
В этом пункте мы найдем точное решение для мод струны с закрепленными
концами, несущей на себе N равномерно распределенных грузов. В пределе,
устремив N к бесконечности (при конечной длине L), мы вернемся к стоячим
волнам п. 2.2. Однако наша цель не только в этом. Мы обнаружим, что,
совершая предельный переход к непрерывной струне, мы теряем некоторые
чрезвычайно интересные свойства систем. Вспомним, что, используя гладкую
функцию ф (г,/) для описания смещения, когда N велико, но конечно, мы
должны были отказаться от рассмотрения самых высоких мод, т. е. мод m=N,
N-1, N-2 и т. д., и ограничиться значениями т, значительно меньшими N.
Дело в том, что моды порядка N имеют "зигзагообразную" конфигурацию,
показанную на рис. 2.1, при которой нельзя считать, что соседние грузы
имеют близкое смещение.
Наиболее интересный результат, который мы получим в этом пункте,
заключается в том, что закон дисперсии, выведенный для непрерывной
струны: ю равно постоянной, умноженной на k,- обычно не выполняется. Этот
закон, связывающий частоту и длину волны, показывает, что частота
удваивается, когда длина волны уменьшается в два раза. Он является
приближением, справедливым в предельном случае непрерывной упругой
струны, и перестает быть верным для реальной струны. Это приводит к
интересному физическому явлению, называемому дисперсией. Среда, которая
удовлетворяет простому закону дисперсии, выведенному выше (co=const-&),
называется средой без дисперсии (или недиспергирующей средой) для
соответствующих волн. Если закон дисперсии имеет другой вид, среда
называется средой, обладающей дисперсией (или диспергирующей средой).
Рассмотрим пример.
Пример 1. Поперечные колебания струны с грузами. Такая система показана
на рис. 2.10. Имеется N грузов, расположенных
Ъ М Т0 М \ SM Т0 М Т0 ------------ ------------шг-Т~~~~
I а 2а (N-fla На I
I=(N+l}a
Рис. 2.10. Равновесное положение нагруженной струны.
в точках г=а, 2а,..., Na. Полная длина L равна (iV+l)a. Масса каждого
груза равна М, отрезки струны (пружины) между грузами одинаковы, невесомы
и подчиняются закону Гука. Натяжение в равновесии равно Т0. Если пружины
(струны) удовлетворяют приближению "пружины" (натяжение пропорционально
длине), то колебания могут иметь произвольно большую амплитуду и все же
будут описываться линейными уравнениями движения. Если же пружины не
являются "пружинами", то для того, чтобы получить линейные уравнения
движения, следует ограничиться рассмотрением малых колебаний,
79
Теперь рассмотрим общий случай, показанный на рис. 2.11. (Мы ограничимся
только поперечными колебаниями вдоль оси х. Позже мы рассмотрим
продольные колебания вдоль г. Общее движение является суперпозицией
продольных колебаний вдоль 2 и поперечных вдоль х и у.) Смещение груза п
вверх (см. рис. 2.11)
от положения равновесия равно фя(0> гдеn=l,2,3,...,iV-1, N. Рассмотрим
какой-нибудь произвольный груз п и два соседних груза, (п-1) слева и
(п+1) справа от п.
У равнение движения. Наша цель - найти уравнение движения для груза п. В
п. 1.2 мы решили подобную задачу для системы с одной степенью свободы, а
в п. 1.4 - для системы с двумя степенями свободы. Предоставляем читателю
показать, что как для приближения "пружины", так и для малых колебаний
применение второго закона Ньютона к движению груза п дает следующее
уравнение движения:
Рис. 2.11. Общая конфигурация нагруженной струны, совершающей поперечные
колебания по оси х.
л/г (0 'г
т dP ~1q
-Та
- 1 (O'
(62)
Уравнение (62) соответствует общему случаю: оно справедливо для
произвольного движения свободно колеблющейся системы, т. е. для
произвольной суперпозиции N различных мод.
Нормальные моды. Нам нужно найти частоты и конфигурации отдельных мод.
Предположим, что мы имеем моду с частотой со. Каждый груз совершает
гармонические колебания с частотой со и фазовой постоянной ф. Форма моды
определяется отношением амплитуд колебаний различных грузов. Обозначим
через Ап амплитуду колебаний n-го груза для рассматриваемой нами моды.
Имеем
фх(0 = /41cos (со^ + ф); ф2 (t) - А2 cos (Ы + ф); ...
