Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
быть разложена в ряд Фурье:
00
/ (г) = 2 An sin nktz, ktL = n. (54)
ti- 1
Поэтому говорят, что функции sinnkiZ, где п=1,2, 3,..., образуют полный
набор функций (по отношению к функции f (2), равной нулю в точках 2=0 и
L). Полный набор функций определяется как последовательность функций, с
помощью которых любая функция / (2) при соответствующем значении
коэффициентов может быть записана в виде суперпозиции функций набора.
Неоднородная струна. Существуют ли другие полные наборы функций, кроме
синусоидальных функций, образующих ряд Фурье? Да, существует бесконечно
много полных наборов. Мы можем убедиться в этом на следующем примере.
Предположим, что струна неоднородна, т. е. либо плотность струны, либо ее
натяжение (либо обе эти величины) являются непрерывными функциями от г.
(Примером "струны" с изменяющейся плотностью и натяжением может служить
вертикально подвешенная "пружина" с закрепленными нижним и верхним
концами. Натяжение внизу меньше, чем наверху, на величину Mg, где М -
масса "пружины".) Теперь уравнение движения небольшого сегмента струны не
будет больше подчиняться
76
классическому волновому уравнению
<?8ф (г, j) _Т0 <?8ф (г, t) dt2 р0 дгг
Действительно, в этом случае равновесное натяжение Т 0 (z) и плотность
p0(z) зависят от z и колебания будут (см. задачу 2.10) удовлетворять
уравнению
Это уравнение переходит в классическое волновое уравнение, только если
T0(z) и р0(г) превращаются в константы, не зависящие от z. В нормальной
моде неоднородной струны, так же как и в моде однородной струны, каждая
часть струны совершает гармоническое колебательное движение с одинаковой
частотой и фазовой константой:
Подставляя это в уравнение (55) и сокращая на общий множитель cos
(со^+ф), получим уравнение для моды
Синусоидальная форма стоячих волн - свойство однородной системы.
Геометрическая форма моды определяется функцией А (г), которая является
решением уравнения (59) с соответствующими граничными условиями: A (z)=0
приг=0 и z=L. Функция А (г) будет синусоидальной только при постоянных Т0
и р0. Таким образом, синусоидальные колебания в пространстве характерны
только для нормальных мод однородных систем.
Моды неоднородной струны образуют полный набор функций. Приведем без
доказательства свойства нормальных мод неоднородной струны с
закрепленными в точках z=0 и z=L концами. Первая мода соответствует
решению Ai (z) уравнения (59), которое обращается в нуль только в точках
z = 0 hz=L (оно похоже на одну полуволну "искаженной синусоиды", у
которой нет узлов между нулем и L). Этой моде соответствует частота ">!.
Следующая мода имеет один узел между z=0 и z=L и, таким образом,
представляет полную длину волны искаженной синусоиды. Ей отвечает частота
со2; т-я мода имеет т-1 узлов между z=0 и z=L и соответствует т
полуволнам искаженной синусоиды. Существует бесконечное число мод (для
непрерывной струны). Функции Аг (z), А2 (г), Л3 (z),..., которые
определяют пространственную часть моды, образуют полный набор для любой
"подходящей" функции f (z), равной нулю на концах. "Подходящая" функция f
(z) должна быть такой, какую могут образовать либо струна, либо "пружина"
без нарушения наших предпо-
52г|) (z, t) 1 д
dt2 Po(z) dz
(55)
ф(г, t) = A (z) cos (wt + ф).
(56)
Поэтому
J = -CO2 A (z) cos (соt + Ф),
(57)
(58)
(59)
77
ложений. Мы можем сделать шаблон, имеющий форму / (г), вставить
неоднородную струну в шаблон и освободить ее в момент времени t=0. Струна
будет совершать колебания, которые представляют собой суперпозицию
бесконечного числа мод:
СО
Ф(г, 0= 2 стАт (г) cos aj. (60)
m= 1
Когда ^=0, имеем "
0) = /(г)= 2 стАт(г). (61)
т= 1
Равенство (61) показывает, что функция / (г) (предмет наших рассуждений)
может быть разложена по функциям Ат(г). Таким образом, Ат(г) образует
полный набор функций, аналогично тому как синусоидальные функции ряда
Фурье образуют полный набор для функции / (г), равной нулю в точках 2=0 и
г=Ь.
Собственные функции. Существует бесконечно много способов осуществления
струны с неравномерными плотностью и натяжением. Поэтому бесконечно
велико и число различных полных наборов функций Am(z). Синусоидальные
функции от г не являются единственными функциями для разложения / (г). Но
они замечательны своей простотой. Эти функции определяют моды всегда,
когда мы имеем пространственно однородную систему. В противном случае
применение синусоидальных функций не будет особенно успешным. Вместо них
следует попытаться найти такие функции Am{z), которые соответствуют
нормальным модам системы. Эти функции Am(z), или в общем случае Ат(х, у,
г), называются собственными функциями системы. Они дают пространственную
зависимость нормальных мод.
Для любой точки (х, у, г) временная зависимость моды всегда определяется
множителем cos (ю/+ф). Таким образом, мода представляет собой
одновременные малые колебания (достаточно малые, чтобы они описывались
линейным уравнением) всех движущихся элементов, которые колеблются с
