Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Е640 с относительными амплитудами и фазами равенства (53).
Период 7'1=1/128 сек.
перепонкой. Конец основной перепонки вблизи барабанной перепонки
резонирует при частоте около 20-10ъгц, а самый дальний ее конец
резонирует при частоте 20 гц. Таким образом, интервал воспринимаемых ухом
частот лежит между 20 гц и 20 ¦ 103 гц. Нерв ушной улитки имеет
чувствительные окончания в основной перепонке и "преобразует"
механические колебания в электрические сигналы, которые поступают в мозг,
где воспринимаются нами как звуковые ощущения. Беря несколько раз один и
тот же аккорд, мы видим, что наши звуковые ощущения одни и те же (даже
если формы р (/) из-за различных фазовых констант сильно различаются).
Отсюда следует, что информация об относительных фазах колебаний различных
участков основной перепонки где-то теряется. Возможно, что мы и не
получаем подобной информации из-за того, что "преобразователь"
представляет собой квадратичный детектор, электрический сигнал на выходе
которого пропорционален квадрату амплитуды колебаний перепонки. Возможно
также, что сигнал нерва несет информацию о фазе [т. е. сигнал
пропорционален ф(х,/), а не фа(х,/)], но мозг не воспринимает эту
информацию, т. е. не реагирует на некоторые сигналы нерва. По-видимому, в
фазовой информации нет особой ценности, так как в противном случае (в
нашем эволюционном раЗ-
74
витии) мы должны были бы оказаться обладателями механизма для
распознавания фазы.
Другие граничные условия. В общем случае поперечных колебаний непрерывной
струны нет необходимости, чтобы оба ее конца были закреплены. Один или
оба конца могут быть свободны, по крайней мере в случае поперечных
колебаний. Натяжение струны и равновесную конфигурацию можно создать при
помощи невесомого кольца, скользящего без трения по стержню, который
направлен вдоль оси х и перпендикулярен оси равновесной конфигурации (эта
ось совпадает с осью z). Нормальные моды при этом будут иметь другую
конфигурацию, чем в случае двух закрепленных концов. Они по-прежнему
будут синусоидальными функциями от г, описываемыми выражением (19), а
дисперсионное соотношение между частотой и длиной волны будет иметь вид
(22). Действительно, все рассуждения, предшествовавшие решению (23),
которое представляет собой общее решение для смещения струны в отдельной
моде, не зависят от начальных условий. Мы перешли к решению для струны,
закрепленной в точках z=0 и z=L, после рассмотрения решения (23).
Если трение между стержнем и кольцом отсутствует, то на свободном конце
колеблющейся струны нет поперечной силы, действующей на струну. Это
значит, что наклон струны на свободном
Рис. 2.9. Моды колебаний непрерывной струны, один конец которой свободен,
а другой
закреплен.
конце должен равняться нулю в любой момент времени. При попытке
воздействовать поперечной силой на свободный конец струны она будет
двигаться таким образом, чтобы уменьшить эту силу до нуля, и конец струны
останется горизонтальным, хотя, конечно, не будет неподвижным. (Смысл
всего этого следующий: невозможно давить на объект, который не давит на
вас, но можно смещать его по своему желанию).
На рис. 2.9 показаны моды для струны с одним закрепленным концом. Мы
пронумеровали их в соответствии с числом четвертей длины волны,
укладывающихся на полной длине струны L.
75
Заметим, что гармоники с частотами 2vt, 4vx и т. д. выпадают. Применение
фурье-анализа к функции / (г), равной нулю при 2=0 и имеющей нулевой
наклон в точке z-L, рассмотрено в задаче 2.29.
Зависимость "качества тона" (тембра) от метода возбуждения. Когда
молоточек бьет по струне рояля, то вместе с основной (vt) гармоникой
возбуждаются в некоторой степени и вторая гармоника или октава (2vi),
октава плюс квинта (3vj), вторая октава (4vj), вторая октава плюс большая
терция (5vi), вторая октава плюс квинта (6vi) и т. д., как более высокие
гармоники основного тона vt. Величина и фаза каждой фурье-компоненты
(каждой гармоники) зависят от начальной конфигурации и скорости всех
частиц струны в момент после удара. Результат в большой степени зависит
от расположения молоточка, т. е. его расстояния от конца струны. Нельзя,
например, ожидать возбуждения моды с узлом в точке удара, так как
молоточек сообщает при ударе начальную скорость той части струны, по
которой он бьет. Например, если струну ударяют посередине, то моды с
узлом в центре струны не будут возбуждены. Рассмотрение рис. 2.3
показывает, что в этом случае пропадут все четные гармоники. Так, ущипнув
за середину струны С128, мы можем ожидать суперпозиции колебаний С128,
G384, Е640 и т. д. Тембр в этом случае будет заметно отличаться от того,
который будет в случае удара по струне недалеко от конца, когда возникает
суперпозиция С128, С256, G384, С512, Е640, G768 и т. д.
Моды однородной струны образуют полный набор функций. Начав с изучения
струны, закрепленной на концах, мы нашли, что любая разумная функция f
(2), определенная между 2=0 и z-=L и равная нулю в этих точках, может
