Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты Фурье. Выпишем теперь полученные результаты, выражаемые
равенствами (40), (42), (44) и (45):
(44)
(45)
00
00
F (z) = ^ Ams\nmkxz~\- 2 Bmcosmkxz
= i I p(z)dz>
(46)
71
Здесь zt - любое значение z. Равенства (46) показывают, как любую
периодическую функцию от г с периодом представить в виде ряда Фурье.
Прямоугольные волны. В качестве примера разложим прямоугольную волну в
ряд Фурье. Пусть функция f (г) обращается в м, нуль в точках z=0 и
z=L и
Л--------- равна+ 1 дляОосХ. (Вточ-
0 1 z->- ках и г=^ ФУНКЧИЯ пе'
рестает быть непрерывной,
ит.д.-I *1
Fffl + , ^ т. е. не удовлетворяет сделан-
-I -----/ ,-,
\ О О
V--------L; _;L------------1
ному выше предположению, что функция "гладкая" во всех О L 2L z->-
точках. Поэтому нельзя ожи-
, . я,
дать, что ряд Фурье совершен-
Рис. 2.6. Прямоугольная волна f(z). Периоди- "° Т0ЧН0 ДОСПрОИЗВедеТ ЭТУ
веская прямоугольная волна F (2). фуНКЦИЮ. При КОНСЧНОМ ЧИС-
ле членов ряда в точках г= = 0 и z=L будут сильные выбросы. Увеличение
числа членов ряда делает выбросы острее, но их высота не стремится к
нулю.)
Периодическая функция F (z), образованная в соответствии с установленными
ранее предписаниями (см. рис. 2.5), обладает следующими свойствами: F
(z)=0 для z=0; +1 для 00 для L; - 1 для L<jz<2L ит. д., как показано на
рис. 2.6.
Воспользовавшись формулами (46), легко получить следующие значения
коэффициентов Фурье (задача 2.11): В0=0; Вт=0 для всех т\ Ат=0 для всех
четных т=2, 4, 6, 8,...; Ат^Мгпп для нечетных т= 1, 3, 5, 7, ... Таким
образом, имеем
СО 00
F (г) = Вй-\- 2 Вт cos tnkxz + 2 Amsmtnk1z =
m=1 m=1
= - | sin ?jZ + y sin 3Atz 4- -¦ sin 5ktz -j-... | =
= 1,273 sin^-+0,424 sin ^ + 0,255 sin ^5!+ ... (47)
На рис. 2.7 показана прямоугольная волна / (z), первые три члена
разложения (47) и их сумма.
Предположим, что в момент времени ^=0 мы придали струне форму,
определяемую выражением
g(z)= l,273sin(tm)+0,424sin^ + 0,255sin^. (48)
Она соответствует первым трем членам ряда (47) и показана на рис. 2.7, б.
Отпустим струну в момент времени t=0. Какой будет функция ф (z,t)? Будет
ли сохраняться форма рис. 2.7, б с течением времени? (См. задачу 2.16.)
Фурье-анализ для периодической функции времени. Рассмотрим функцию F (t),
определенную для всех t и имеющую период 7+.
F (t-\-Ti)~ F (t) для любых t. (49)
72
Мы предполагаем, что функция F (t) может быть разложена в ряд Фурье:
yj ои
F(t) = B0
+ 2 s*n n(oi t + 2 вп cos ш1 и
П- 1
П-1
где
2я
(50)
(o1 = 2nv1 = ~. (51)
Коэффициенты Фурье могут быть получены непосредственно из приведенных
выше результатов фурье-анализа пространственной периодической функции F
(г), так как математика для переменных 0=(Ох^ и 0=&12 ЪО одна и та же.
Таким образом, для коэффициентов ряда а)
(50) имеем на основании (46)
t1 + Tl
В0 = ~ J F(t)dt,
1 h
U + t
~ J F (t)cosnajdt,
Bn=T
h
i\ + Tx
An=-f- J F (t) sin tie)xtdt,
t.
Ю
6)
(52)
0
X
о С/ 1
/ Г\
Г ]+Зу-5= Р
/ 1*3*5
0
L
Рис. 2.7. Фурье-анализ прямоугольной волны f (z). а) Прямоугольная волна
и три первые составляющие разложения Фурье. Цифры /, 3 и 5 относятся к
нормальным модам 1, 3 и 5; б) прямоугольная волна и суперпозиция f1 + 3 +
5 первых трех составляющих разложения Фурье.
где tx - любой подходящий момент времени.
Звучание аккорда рояля*).
В качестве иллюстрации к сказанному, вместо фурье-анализа известной
функции
F (t), рассмотрим суперпозицию известных компонент. Предположим, что в
нашем распоряжении рояль, настроенный так, что он имеет "научный строй"
(о музыкальных строях см. домашний опыт 2.6). Положим vx=128 гц. Эта нота
С на одну октаву ниже ноты С256. Теперь положим v3=3vx=384 гц. Это G выше
С256. Положим v6=5v!=640 гц. Это Е выше G и выше С256. Ударим по этим
трем струнам. Если вы ударили одновременно и с такой силой, что величина
давления воздуха на ухо (в соответствующих единицах) от струны С128-
1,273 sin 2nvxt, от струны G384 - - 0,424 sin2nv3t и от струны Е640-0,255
sin 2nv5t, то полное давление р (t) равно
р (t) = 1,273 sin 2^^4-0,424 sin 2nv3t 4-0,255 sin 2nv&t. (53)
Суперпозиция (53) очень похожа на суперпозицию (48), изобра-
*) См. примечание на стр. 50.
73
женную на рис. 2.7,6. Для того чтобы получить график р (t), нам нужно
заменить kxz на сOit. После замены получим график, показанный на рис.
2.8. Если по этим струнам ударить не одновременно (т. е. с разбросом во
времени много меньшим, чем 1/128 сек), то относительные фазы трех нот не
будут такими, как в (53) и их суперпозиция не будет иметь вид, показанный
на рис. 2.8. Но наше ухо этого не заметит! Мы распознаем отдельные ноты
аккорда, а информация об относительных фазах нами не воспринимается.
Орган в ухе, реагирующий на тон, называется основной перепонкой. Она
расположена в находящемся во внутреннем ухе органе спиральной формы,
заполненном жидкостью. Этот орган называется ушной улиткой. Ушная улитка
механически связана с барабанной
Рис. 2.8 Звуковое давление, создаваемое суперпозицией нот С128, G 384 и
