Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
примере величина периода равна 2L.) Легко видеть, что функция sin 2k-pz
также периодична по 2 с периодом (Она делает два цикла на длине X,lt
поэтому она периодична и с вдвое меньшим периодом 1/2Х,1.) Более того,
все синусоидальные функции в (39) периодичны по 2 с периодом X,!. Поэтому
и все выражение периодично с периодом Теперь можно расширить класс
функций, для которых справедливо разложение Фурье в виде уравнения (39):
все периодические функции F(z)
К
г-*- L
Рис. 2.5. Образование периодической функции F (г) с периодом Хх = 2L из
функции f (г), исчезающей на концах отрезка 2=0 и z=L.
с периодом X-!, которые равны нулю при 2=0 и z='kl/2, могут быть
разложены в ряд Фурье, имеющий вид (39). Данная функция f (г) определена
только между точками 2=0 и L и равна нулю в этих точках. Мы можем
образовать периодическую функцию, которая будет иметь такое же разложение
Фурье, что и / (г), по следующему правилу: между точками 2=0 и L функция
F (г) совпадает с / (г). Между L и 2L функция F(z) является "перевернутым
(вокруг оси г) отображением" / (г) в "зеркале", расположенном в точке
z=L. Теперь то, что мы определяем как F (г) на интервале от 2=0 до 2L,
продолжим на последовательные интервалы длиной 2L, чтобы определить F (г)
для всех z. Результат этих операций показан на рис. 2.5.
Фурье-анализ периодической функции от z. Здесь мы еще больше расширим
класс функций, для которых можно написать разложение Фурье. Уравнение
(39) соответствует функциям, которые периодичны с периодом и равны нулю в
2=0 и 'KJ2. Однако обращение в нуль функции в этих точках есть результат
выбора граничных условий, которые заключаются в том, что струна
закреплена на обоих концах. Без таких граничных условий мы получили бы
решение для колебаний струны, которое включало бы в себя не только члены
sin nkxz, но также члены cos nkxz, Эти функции также периодичны
69
на z с периодом Х.ь но не равны нулю при г-0 и XJ2. (Они соответст-
вуют колебаниям струны с одним или двумя свободными концами). Включая в
ряд Фурье и эти функции, мы приходим к очень общему классу функций, для
которых может быть написан ряд Фурье: все периодические функции F (г) с
периодом Хи т. е. функции, удовлетворяющие условию F (г+Я.1)=/Г (г) для
всех г, могут быть разложены в ряд Фурье, имеющий вид
Вычисление коэффициентов ряда Фурье. Процесс нахождения амплитуд, или
коэффициентов Фурье Во, Ап и Вп (для всех п), для заданной периодической
функции называется фурье-анализом. Покажем, как найти эти коэффициенты.
Начнем с В0. Проинтегрируем обе части уравнения (40) от z=zx до г=22, где
гх - любое значение г, а 22=2!+^. Мы предполагаем, что функция F (г)
известна, поэтому интеграл от гх до z2 для левой части уравнения (40)
может быть найден. Теперь рассмотрим интеграл от правой части (40). У нас
бесконечное число членов, и поэтому нужно рассмотреть бесконечное число
интегралов.
Первый член справа равен В0; при интегрировании от гх до г2 получаем
Все остальные члены при интегрировании по периоду дадут нуль.
Действительно, на протяжении периода функции sin nkxz и cos nkxг
одинаковое число раз отрицательны и положительны, поэтому
Теперь покажем, как найти коэффициент Ат, где т- некоторое частное
значение коэффициента п. Умножим обе части уравнения (40) на sin mkxz и
проинтегрируем'правую и левую части по периоду функции F (z). Интеграл в
левой части может быть вычислен, так как функция F (г) известна,
Рассмотрим интеграл в нравой части.
оо
•^(2) = 2 \^nsmn t~zJt Bncosn~z =
" - n L 1 1
CO
г> , V* л 2я , 0 2 гг
= Bn 4- > , An sin ti -r- z -f- Bncos n j- z =
n - T *- 1 1 -
CO
CO
Bo+ 2 A" sin nkxz + 2 Bncosnkxz.
(40)
n= 1
n= 1
\вйд2 = B0 (22 - 20 = AA-
(41)
Таким образом, мы нашли коэффициент В0. Он равен
г2
(42)
70
Первый член - это интеграл от произведения В0 на sin mkxz. Он равен нулю,
так как включает т полных периодов sin mkxz. Осталось вычислить интегралы
от произведений sin nkx z sin mkxz и cos nkxzx X sin tnkxz для n= 1,2,...
Рассмотрим член, для которого п=т. Среднее значение квадрата sin2mkxz на
одном периоде длиной кх равно V2 (кх содержит т полных периодов функции
sin mkxz). Таким образом, при интегрировании правой части (40) появляется
член1/,, А^.х. Все остальные члены при этом равны нулю. Это видно,
например, из следующего. Рассмотрим интеграл от sin nkxz sin mkxz, когда
тфп. Подынтегральная функция может быть записана в виде
sin nkxz sm mkxz = у cos (n-m) kxz-у cos (n-\-m) kxz. (43)
Так как (n-m) и (n+m) - целые числа, то каждый из двух членов столько же
раз положителен на периоде Х,х, сколько и отрицателен. Поэтому интеграл
от этого произведения равен нулю (за исключением случая п-т, который мы
уже рассмотрели). Аналогично, интеграл от произведения cos nkxz sin tnkxz
будет равен нулю, так как
cos nkxz smmkxz = -^-sm (т-\-п) kxz-\--^-sin (m - n) kxz.
Таким образом,
Умножив обе части выражения (40) на cos mkxz и проинтегрировав на периоде
'кх, получим выражение для Вт\
