Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
приближенно выражено формулой
?=?+"**. (36)
где а - небольшая положительная константа, которая равна нулю для
совершенно упругой струны. [В этом случае соотношение (36) переходит в
(35).] Пространственная конфигурация мод реальной струны совпадает с
конфигурацией мод совершенно упругой струны, т. е. X1=2L, Х2=1/2Х1,
Х3=1/3Х1 и т. д., так как граничные условия в обоих случаях одни и те же.
Но частоты колебаний для этих мод не будут удовлетворять "гармонической"
последовательности v2=2v1, v3=3v! и т. д. Дисперсионное соотношение (36)
не создает такой последовательности. Гармоническая последовательность
частот получается только в случае а=0, т. е. когда Xv=const. У струны
пианино или рояля частоты более высоких мод слегка отличаются (т. е.
имеют чуть-чуть большее значение) от частот гармонической
последовательности.
Недиспергирующие и диспергирующие волны **). Волны, удовлетворяющие
простому дисперсионному соотношению co/fe=const, называют
недиспергирующими волнами. Если отношение сoik зависит от длины волны (а
значит, и от частоты), волны называют диспергирующими. Обычно можно
построить график зависимости со от k. В случае упругой струны этот график
представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат a>=k=Q
и имеющую наклон (То/ро)1/г (рис. 2.4).
2.3. Общий случай движения непрерывной струны и фурье-анализ
Наиболее общее движение непрерывной струны (с закрепленными концами,
совершающей поперечные колебания вдоль оси х) будет суперпозицией всех
мод 1, 2, 3,... с амплитудами Alt А2, Л3,..,
*) В книге наряду с термином "дисперсионное соотношение" для обозначения
зависимости со от k употребляется равнозначный термин "закон дисперсии".
(Прим. ред.)
**) Этими терминами мы переводим термины "nondispersive vawes" и
"dispersive vawes". (Прим. ред.)
и т.д.
Рис. 2.4. Дисперсионное соотношение для непрерывной однородной струны.
3*
67
и фазовыми константами <plt ф2, ф3,...:
ф (z, t) = Аг sin kxz cos (a>4 -f- фг) -f- А2 sin k2z cos (со2t 4' Фг) +
• • ¦. (37)
где kn выбраны так, чтобы удовлетворять граничным условиям при z=0 и
z=/", а частота со" связана с волновым числом kn дисперсионным
соотношением со(&). Амплитуды Ап и фазы фл, которые определяют движение
для всех положений z и моментов времени t, вычисляются из начальных
условий, т. е. по смещению ф (z, t) и скорости v (z, t) =дф (z,t)/di
каждой точки в момент времени ^=0.
Движение струны, закрепленной на концах. Допустим, что в момент времени
t<i 0 при помощи шаблона струне была придана определенная форма f (z).
Затем в момент времени t=0 убираем шаблон, позволяя струне двигаться. При
^=0 каждый элемент струны имеет свое смещение ф (z, 0), равное f (z), и
скорость, равную нулю; п-й член в выражении для скорости [т. е. в
производной по времени от (37)] пропорционален sin (a>nt 4 Фл) или sin фл
для t = 0. Таким образом, мы можем удовлетворить равенству v (z, 0)=0 для
всех г, положив каждую фазовую константу фл равной либо 0, либо л. Однако
выбор фазовой константы фа=л (например) равносилен перемене знака перед А
х. Поэтому мы удовлетворим этим начальным условиям, положив все фазовые
константы равными нулю, но допуская, что амплитуды Alt А2 и т. д. могут
принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда для
нулевой начальной скорости и (г, 0)=0 имеем
ф (z, t) - Ах sin kxz cos caxt 4- A2 sin k2z cos сoj 4- • • • (38)
и при t-0
ф (z, 0) = / (z) = Ax sin kxz 4 A2 sin k2z -j-... (39)
Как мы увидим ниже, уравнение (39) определяет амплитуды Ах,Аг,...
Ряды Фурье для функции с нулями на концах. Функция f (г) может быть очень
общей функцией от г. Единственное ограничение, которое накладывается на f
(z),- это обращение в нуль на концах, т. е. / (z)=0 при z=0 и z=L.
Потребуем также, чтобы f (z) не была "ломаной" функцией в "малом"
масштабе. Это необходимо потому, что волновая функция ф (z, t) - медленно
меняющаяся функция от 2. Функция / (z) должна быть достаточно гладкой,
для того чтобы мы смогли придать ее форму струне и для того чтобы струна
подчинялась дифференциальному уравнению, полученному с помощью
"непрерывного" приближения. Таким образом, мы нашли, что любая разумная
функция f(z), которая обращается в нуль в точках z=0 и z=L, может быть
представлена рядом (39), т. е. суммой синусоидальных колебаний. Выражение
(39) называется рядом Фурье или разложением Фурье. В данном случае мы
имеем дело с разложением Фурье для функции, равной нулю на концах. В
общем случае разложение в ряд Фурье применимо и к более широкому классу
функций. Теперь мы найдем этот более широкий класс функций,
68
Наша функция /(2) должна описывать форму струны, и поэтому она была
определена между 2=0 и L. Однако функции sin kxz, sin 2^2, sinи т. д.,
которые составляют ряд (39), определены для всех г от-оодо+оо- Заметим
также, что эт^г периодичен относительно 2 с периодом Это значит, что
значения sin ktz при любом заданном z и при 2+^ совпадают. (В нашем
