Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
главе мы не будем называть отношение (74/р0)1/2 скоростью, так как хотим,
чтобы читатель привык к представлению о стоячих волнах.
Общее решение для смещения ф (z, t) получим, объединив уравнения (15) и
(19):
ф (z, t) = cos (tot -f- ф) [A sin (2nz/X) -f- В cos (2лz/X)). (23)
Граничные условия. Уравнение (23) имеет слишком общий вид. В нем никак не
отражены граничные условия. Наша струна закреплена на концах, а в решении
нет информации, которая указывала бы на это. Посмотрим, как ввести такую
информацию. Пусть длина струны L. Выберем систему координат таким
образом, чтобы левый конец струны находился в точке z=0, тогда правому
концу соответствует z=L. Рассмотрим координату z=0. Струна здесь
закреплена, и ф (0, t) должно равняться нулю для всех t. Отсюда следует,
что В=0, так как для любого момента времени t
Другое граничное условие заключается в том, что струна фиксирована в
точке z=L, так что ф (L, t) равно нулю для всех t. Этому граничному
условию можно удовлетворить, положив в уравнении (25) А =0, но такое
решение не представляет интереса, так как соответствует покоящейся
струне. Единственная возможность удовлетворить граничному условию в точке
z=L заключается в том,
ф (0, t) = cos (to14 ф) [0 4 В] - 0.
(24)
Таким образом, имеем
ф (z, t) = A cos (to14 ф)эт ~j- .
(25)
64
чтобы положить
sin^ = 0. (26)
Длины волн к, для которых это справедливо, должны удовлетворять уравнению
-jj-- = л, 2л, Зл, 4л, 5л, ... (27)
(Почему мы исключили случай 2пГ/к=0)? Написанная последовательность
возможных длин волн, удовлетворяющих граничным условиям, дает все
возможные моды струны. Пронумеруем эту последовательность, начиная с
первого члена, которому присвоим номер 1. В соответствии с (27) получаем
следующие длины волн возможных мод:
к1==2L, K = K = ... (28)
Гармонические отношения частот. Чтобы найти соответствующие частоты, мы
должны использовать уравнение (22). Получаем
Vi = w0Ai, v2 = 2v1, v8 = 3v1, v4 = 4Vj, ... (29)
Частоты 2vlf 3v4 и т. д. называются второй, третьей и т. д. гармониками
основной частоты v4. Утверждение, что частоты v2, v3 и т. д. являются
гармониками частоты vlt соответствующей первой моде, следует из нашего
предположения о совершенно однородной и упругой струне. Частоты мод
большинства реальных физических систем не образуют такой гармонической
последовательности. Например, для струны с неоднородной плотностью
частоты мод не являются гармониками основной частоты и могут принимать
такие значения, как, например, v2=2,78v1, v3=4,62v! и т. д. У струны
пианино или скрипки частоты мод образуют лишь приближенно гармоническую
последовательность. Причина в том, что струны не абсолютно упруги. (В
задаче 2.7 рассмотрено влияние неоднородной плотности струны на
"гармонические" отношения частот.)
Моды нашей струны показаны на рис. 2.3. Равновесная конфигурация отвечает
отсутствующему первому члену, 2nLfk=0, в последовательности (27).
Соответствующая частота равна нулю. Здесь нет никакого движения, и это
равновесное состояние не называется модой.
Волновое число. Величина, обратная длине волны, называется волновым
числом о. Оно измеряется в циклах на сантиметр или, чаще, в "обратных
сантиметрах". Этот параметр характеризует колебания в пространстве,
аналогично тому как частота v характеризует колебания во времени.
о = 1/к - волновое число (см-1). (30)
Волновое число, умноженное на 2л, можно назвать угловым волновым числом
k. Его измеряют в рад/см. Величина k характеризует колебания в
пространстве, как угловая частота to - колебания
3 Ф. Крауфорд
65
во времени
й = 2лД = угловое волновое число {рад/см). (31)
Покажем, как использовать эти величины для записи уравнений стоячих волн:
t 2
ф (2, t) - A sin 2л y sin 2л у = A sin 2лvt sin 2лaz-
= A sin sin kz. (32) В качестве другого примера перепишем следующим
образом
1)
Ро'^о
Ь
Xf=2L I
VfZV,
^4 1*1 lb
vr*vr и m. S.
Рис. 2.3, Моды колебаний непрерывной однородной струны с фиксированными
концами.
последовательность нормальных мод, определяемую уравнениями (27)-(29):
k^L - прад, k2L = 2n рад, k3L = Зл рад и т.д. (33)
или
1 3
агЬ = -^ никла, o2L=l цикл, o3L = -j цикла и т. д. (34)
Дисперсионное соотношение. Равенство (22) связывает частоту и длину волны
для нормальных мод однородной упругой струны:
V, /5' уПа.
г ро Я V ро
Умножая его на 2л, получаем
<35>
Равенство (35) дает соотношение между частотой и волновым числом
нормальных мод струны. (Заметьте, что мы опустили прилагательное
"угловой", Так обычно и поступают, если обозначения и размерность
66
позволяют избежать неясности.) Выражение (35), определяющее со как
функцию k, называется дисперсионным соотношением *). Это удобный способ
описания волновых свойств системы.
Закон дисперсии для реальной струны пианино. Дисперсионное соотношение
(35) очень просто. Позже мы увидим примеры более сложных дисперсионных
соотношений, когда величина Kv=a>lk уже не константа, а зависит от длины
волны. Например, для струны пианино дисперсионное соотношение может быть
