Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
моды.
Другим очевидным фактом является то, что последовательность
предполагаемых мод образует именно N конфигураций: число узловых точек
(точки, в которых пружина пересекает горизонтальную ось, исключая
концевые точки) равно нулю в первой моде, вторая мода имеет одну узловую
точку и т. д. Самая высокая мода имеет максимально возможное число
узловых точек, равное N-1.
2.2. Моды поперечных колебаний непрерывной струны
Обсудим случай, когда N велико, например N= 106 или такого порядка. Тогда
для первых мод (скажем, первых нескольких тысяч) между двумя соседними
узлами окажется очень много грузов. Смещение будет медленно меняться от
одного груза к другому. (Мы не будем рассматривать самые высокие моды,
так как в этих модах между соседними узловыми точками окажется всего лишь
несколько грузов. В этом случае струна имеет большое число "зигзагов" и
описание смещения с помощью непрерывной функции ф (х,у, г, t) перестает
быть хорошим приближением.) В соответствии со сказанным выше мы не будем
описывать мгновенную конфигурацию перечнем смещений фа(?), фь(0. Фе(0>
4>л(0 и т- Д- каждого
59
груза. Вместо этого будем считать, что все частицы в окрестности точки
(х, у, г), отвечающей положению равновесия (окрестность может быть
бесконечно малым кубом с ребрами Ах, А у и Az), имеют один и тот же
мгновенный вектор смещения ф (х, у, г, t):
ф(х, у, г, t) = хф* {х, у, г, 0 + уфДх, у, г, 0 + гфг(дг, у, г, t). (1)
Здесь х, у и z - единичные векторы, а г])*, фу и фг - компоненты вектора
смещения ф. Важно понимать, что координаты х, у, г представляют собой
равновесное положение частиц. Таким образом, х, у и z не зависят от
времени.
Продольное и поперечное смещения. Выражение (1) имеет значительно более
общую форму, чем нужно для изучения колебаний струны. Предположим, что в
состоянии равновесия струна растянута вдоль оси г. Тогда координата z
дает положение равновесия каждого груза и выражение (1) может быть
записано в более простом виде:
ф(2, 0 = t) + уфу(г, t) + z$z{z, t). (2)
Смещения вдоль оси z называются продольными, а вдоль осей л: и у -
поперечными. Здесь мы рассмотрим только поперечные колебания струны.
Поэтому мы положим функцию фг равной нулю:
ф(г, 0 = -*'Ф-с(г. О +у^у{г,Ц. (3)
Линейная поляризация. Для большей простоты положим, что колебания
происходят только вдоль оси х (т. е. фу=0). В этом случае говорят, что
колебания линейно-поляризованы вдоль х. (В главе 8 мы будем изучать общий
случай поляризации.) Опустив единичный вектор х и индекс в ф*, мы можем
написать:
ф (z, t) = мгновенное поперечное смещение частиц,
имеющих равновесное положение г. (4)
Теперь рассмотрим очень малый элемент непрерывной струны. В равновесном
состоянии он занимает интервал длиной Az с центром в z. Масса единицы
длины, т. е. отношение AM/Az, называется линейной (или погонной)
плотностью р0:
AM = p0Az. (5)
Предположим, что линейная плотность не меняется вдоль всей струны.
Предположим также, что натяжение струны в положении равновесия Т0 также
одинаково по всей ее длине.
В общем случае, когда струна не находится в состоянии равновесия, среднее
смещение нашего сегмента равно ф (z, t) (рис. 2.2). Сегмент будет
обладать некоторой кривизной, так как углы 9хи 02 не равны (см. рис.
2.2). При этом длина сегмента уже не равна Аг, поэтому и натяжение не
равно больше Та. Найдем силу Fx, действующую на сегмент. На левом конце
на сегмент действует сила Тг sin 0Ь
60
направленная вниз. Сила r2sin 02, действующая на правый конец сегмента,
направлена вверх. Полная сила, действующая на сегмент, равна
Fx(t) = T2 sin02-rxsm0x. (6)
Мы хотим выразить Fx(t) через ф (z,t) и ее пространственную производную:
dip (г, t)
дг
наклон кривой в точке г в момент времени t. (7)
В соответствии с рис. 2.2 наклон струны в точке гх равен tg 0Х,а наклон в
точке г2 равен tg02. Горизонтальные компоненты натяжения струны в точках
гх и г2 равны соответственно Гхсos 0Х и Т2cos 02. Наша цель - получить
линейное дифференциальное уравнение движения. Мы будем работать либос
приближением "пружины", либо с приближением малых колебаний. В случае
приближения "пружины" Т больше Го в 1/cos0 раз, потому что сегмент больше
Az во столько же раз:
Тcos 0=7Y В случае малых колебаний мы пренебрегаем возрастанием длины
сегмента и принимаем cos 0 = 1. Таким образом, и в этом случае мы имеем
7'cos0=7'o. Уравнение (6) принимает вид
Fx(t) = Т2 sin 02 - 7\ sin 0j =
= Т2 cos 02 tg 02 - 7\ cos 0х tg 0х --
= Т О tg 02 -^otg0l = - Т -Т
1°\дг)г *Ч*/Г
(8)
Рис. 2.2. Поперечные колебания непрерывной струны.
Внизу показано равновесное положение бесконечно малого отрезка струны
длиной Д2. Наверху показано положение этого отрезка и его конфигурация в
общем случае.
Теперь рассмотрим функцию f (х), которую определим так:
dip (г, t)
/(*) =
dz
(9)
Мы не внесли время t в аргумент формулы, так как считаем t константой.
Разложим f (г) в ряд Тейлора в окрестности точки гх, а затем положим z=z2
