Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
е1х Л-е~!х
-^--------= cosx1 (15)
gix e~ix
21-------= sin+ (16)
из которых следуют равенства
eix = cosx-j-i sin х, (17)
e~ix = cos x-( sin x. (18)
Функция tgx. Воспользуемся следующими равенствами: tg x = sin x/cos x, d
(sin x)/dx=cos x и d(cosx)/dx=-sin x; тогда d (tgx)/dx=(cos x)-2, d2
(tgx)/dx2=
=2sinx (cosx)-3, d? (tgx)/dx3=2 (cos x)~2-6 sin2x (cos x)-4.
Подставляя эти значения в ряд (3), получим при х0=0
уЗ О у5
lg* = x+?+^+... (19)
Биномиальный ряд (1+х)п. Воспользуемся равенствами d (1+x)n/dx=
=n(lJrx)n~1, d2 (l-\-x)n/dx3=n (n-1) (l-fx)n_3, d3 (l-\-x)n/dx?=n (n-1)
(я-2)X X(l+x)"-3 и т. д.
Подставляя их в ряд (3), получим при х"=0
(I +,)¦ - 1 + ... ,20)
Уравнение (20) справедливо для любого положительного или отрицательного п
и для любого положительного или отрицательного х, удовлетворяющего
условию х2< 1.
П.З. Суперпозиция гармонических функций
В волновых явлениях встречаются суперпозиции N гармонических функций
вида
m(0 = cosco1^ + cos (coj + a) * +cos (с^ + га) .. , + cos [coi +
(jV^1) a] t,
(21)
u (г) = cos kz + cos (?2 + P) + cos (?2 + 20) +... +COS [0! + (Л(- 1) Р].
(22)
510
Обе эти суперпозиции можно записать следующим образом:
и = cos Gj + cos (0i + у) + cos (0i + 2у) + ... + cos [0X -f- (AT-1) у].
(23)
Мы хотим найти удобное выражение для суммы (23). Заметим, что и
является дей-
ствительной частью следующего выражения:
v = eih-{-ei 19, + з-г) 4б, + (N-i) у] = еП^, (24)
где S - сумма N членов геометрической прогрессии:
S= l-f-a+a24-a34- где a -eh. (25)
Умножим S на а. Затем вычтем почленно S из aS, получим
aS-S = aN- 1, (26)
т. е.
- 1 e'/2,wT (e'U wT_e-V2 wr,
u----
a-\ en - l еЧг i-t {e^h^-e~1,2h)
-"¦/"iW-p T sinVgiVy "
sim/aY
[мы использовали равенство (16)]. Подстановка уравнения (27) в уравнение
(24) дает
" = cos[0,+V2(A7-1)y]^t^. (28)
Взяв действительную часть этого выражения, получим искомый результат:
cos [61 + V2 (Л/- 1) у] . (29)
Он может быть записан в другой, более удобной форме. В выражении (23) 0Х
- аргумент первого члена. Аргумент последнего члена (назовем его 02)
равен
e. = 0i+(tf-i)v. (30)
Среднее первого и последнего аргументов равно
9ср ^ V* (01 + 02) = Vs 01 + V* 01 + V* (Л7 - 1) у. (31)
Первый член в равенстве (29) равен cos 0ср. Кроме того, из
равенства (30) следует,
что у=(02-9i)/(N-1). Подставляя cos 6ср и у в равенство (29), получаем
"-COS0 sin [V, Л7 (0, -01)/(Л7-1)1
Sin [V* (0Я -0x)/(N -1)] • (32)
Выражение (29) зависит от величины у, равной приращению аргументов двух
последовательных членов ряда (23). Равенство (32) эквивалентно (29), но
выражено через первый и последний аргументы 0j и 0а и их среднее.
Заметим, что cos 0ср- гармоническое колебание той же формы, что и каждый
член суперпозиции (23), но вместо единичной амплитуды это колебание имеет
амплитуду Л(0!, 02. N), равную
1fft ,4 sin [V2 /V (02- 0])/(Л/-1)]
л (0'*021 N) ~ "si+Tv7(0^-0"i)/(y-i)] • (33)
Наиболее компактное выражение для нашего результата имеет вид
и = Л(0ь 02, /V) cos 0ср. (34)
Случай N= 2 для колебаний во времени [уравнение (21)] соответствует
биениям, а для колебаний в пространстве [уравнение (22)1 -
интерференционной картине от двух щелей. Для колебаний во времени большие
значения N вызывают "модуляции", что в пределе при N-*-оо приводит к
появлению импульсов. Для колебаний в пространстве большие значения N
приводят к интерференционной картине от
многих щелей, и в пределе при N-*- оо мы получаем
дифракционную картину от
одной щели шириной в много длин волны.
511
П. 4. Векторные тождества
Воспользуемся буквами А, В, С для обозначения скалярных функций от х, у н
г: А (х, у, г), В (х, у, г) и С(х, у, г). Аналогично через А, В и С будем
обозначать векторные функции от х, у и г. Подфункцией А мы понимаем
вектор х Ах(х, у, г)+ +уАу(х, у, г)+гЛ,(х, у, г), где х, у, hz -
единичные векторы. Нас интересует, как работать с "оператором иабла" у,
который одновременно является вектором и оператором взятия производной.
"Фокус" в том, чтобы выражения с оператором у записывать таким образом,
чтобы была ясна его "двойная" роль. Например, в выражении
¦ у(Л?) = (уЛ)? + Л (у?) = ?уЛ+Лу? (35)
первое равенство следует из правила дифференцирования произведения. Во
втором равенстве круглые скобки излишни, потому что по условию оператор у
дифференцирует только то, что стоит справа от него. Мы можем временно
писать уа, когда у действует только иа А (или А), и у&, когда у действует
только иа В (или В). В этом случае мы должны "позаботиться" о правиле
дифференцирования произведения. Затем мы перемещаем операторы и векторы
таким образом, чтобы величины, которые не следует дифференцировать,
оказались слева от оператора иабла. При этом мы не должны забывать о
правилах обращения с векторами. В конце индексы а и Ь можно опустить.
Имеем
у {А В) = уа (А В) + уй (А В) = В\аА + Лу6В = Ву А + А уВ. (36)
Аналогично
у X (АВ) Ха X (ABH-V ь X(AB) = BvaXA-AXv6B = BvXA-AXvB.
(37)
После некоторой практики промежуточные равенства вам не понадобятся.
