Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
б) Найдите линейную комбинацию координат фа и ф*, которая дает
несвязанные уравнения, т. е. найдите нормальные координаты. Найдите
частоты и отношения амплитуд для обеих мод.
Ответ. См. уравнения (70) и (71).
1.21. Колебания в двух связанных LC-цепях. Найдите две нормальные моды
колебаний для связанных цепей, показанных на рис. 1.12, когда уравнения
движения имеют вид (77) и (78).
а) Воспользуйтесь аналитическим методом.
б) Используйте метод нахождения нормальных координат.
Ответ. См. уравнение (79).
Ответ.
фа = (A cos шмод t) cos wc ^ A
( Ma-Mb
V м
sin <вмод
t ) sin wcpC
55
1.22. Тяжелый предмет лежит на резиновой подушке (которая применяется как
амортизатор), сжимая ее на 1 см. Если ударить по предмету в вертикальном
направлении, он начнет колебаться. (Колебания будут затухать; мы
пренебрегаем затуханием.) Оцените частоту колебаний. (Указание. Считайте,
что подушка ведет себя как пружина, подчиняющаяся закону Гука.)
Ответ. Около 5 гц.
1.23. Продольные колебания двух связанных масс. Система показана на рис.
1.9. Уравнения (62) и (63) являются уравнениями движения системы.
Используйте аналитический метод, выраженный уравнениями (47)-(59), для
нахождения мод. Вы должны не просто подставить ваши данные в эти
уравнения, а выполнить, "не подглядывая", всю последовательность
действий.
Ответ. См. уравнения (60) и (61).
1.24. Опыт. Мода "омывания" в сосуде с водой. Первая мода колебаний в
замкнутом объеме жидкости может быть названа модой "омывания"*). Каждый,
кто когда-либо пытался нести полный сосуд с водой без расплескивания,
знает, что эту моду легко возбудить.
Наполните прямоугольный сосуд водой и слегка толкните его. Еще лучше
поместить сосуд на горизонтальную поверхность, наполнить его до краев и
затем долить так, чтобы вода "вздулась" (поднялась) над краями. Слегка
толкните сосуд. После того, как более высокие моды затухнут, можно
наблюдать моду "омывания", которая затухает очень медленно. (Это -
гравитационная мода, несмотря на то что мы используем поверхностное
натяжение, чтобы удержать воду "над стенками"; этим затухание сводится к
минимуму.) Поверхность воды остается практически плоской (после того как
более высокие моды затухнут). Предположим, что мода все время плоская:
горизонтальная - в положении равновесия и наклонная -• в крайних
положениях. Пусть ось х совпадает с горизонтальным направлением, а ось у
направлена вверх. Пусть х и у - горизонтальная и вертикальная координаты
центра тяжести воды в сосуде с равновесными значениями х0 и у0. Найдите
зависимость (у-у0) от (х-х0). (Удобной переменной может служить уровень
воды на одном конце сосуда, отсчитанный от равновесного уровня.)
Увеличение потенциальной энергии всего объема воды равно mg (у-у0). Вы
обнаружите, что (у-у0) пропорционально (х-х0)2. Таким образом,
потенциальная энергия центра тяжести, подобно потенциальной энергии
гармонического осциллятора, пропорциональна квадрату смещения от
равновесного положения. Используйте второй закон Ньютона, предполагая,
что вся масса воды т сосредоточена в центре тяжести. Найдите формулу для
частоты.
Ответ. <B2=3gft0/L2, где h0 - равновесная глубина воды, g-=980 см/сек и L
равно половине длины сосуда вдоль направления движения волны, т. е. вдоль
х. Проверьте эту формулу, т. е. измерьте со, h0 и L для вашего сосуда н
сравните полученные значения с формулой.
1.25. Сейши. Как известно, средняя глубина Женевского озера около 150 м,
а длина порядка 60 км (включая узкую западную часть озера). Аппроксимируя
озеро прямоугольным сосудом, мы можем использовать формулу для со2,
полученную в домашнем опыте 1.24. Какой период сейш (т. е. мод
"омывания") дает эта формула при условии, что сейши распространяются
вдоль длинной стороны озера? (Наблюдаемый период - порядка часа.)
Вероятной причиной образования сейш является резкое различие атмосферного
давления над разными участками озера. Наблюдаемые амплитуды достигают
полутора метров.
В июне 1954 г. сейша с амплитудой около 3 м, возникшая на озере Мичиган,
смыла рыболовов, ловивших рыбу на пирсе.
В соответствии с сообщением в "Time" (17 ноября 1967 г.), ударные волны
от сильного землетрясения на Аляске в "страстную" пятницу 1964 г.вызвали
образование сейш на реках, озерах и в гаванях вдоль береговой линии США,а
также привели к выплескиванию воды из плавательных бассейнов.
*) Здесь и дальше этим условным термином переведено выражение "sloshing
mode in a pan of water", (Прим. ред.)
ГЛАВА 2
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
2.1. Введение
В главе 1 мы рассмотрели поведение систем с одной или двумя степенями
свободы. Здесь мы будем изучать системы, имеющие N степеней свободы,
причем N может быть очень большим и даже "бесконечно большим" числом.
У системы с N степенями свободы имеется только N мод (см. задачу 1.17).
Каждая мода обладает своей собственной частотой и "формой", определяемой
отношением амплитуд А: В: С: D: и т. д. (эти амплитуды соответствуют
