Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
вещества. На обложке журнала "Scientific American" за июль 1963 г.
помещена красивая. фотография, на которой показан пучок красного света (с
длиной волны 6940 А), падающий на кристалл. С противоположной стороны
кристалла выходит пучок синего света (с длиной волны 3470 А). Уменьшение
длины волны в два раза соответствует удвоению частоты. Причиной такого
удвоения является квадратичная нелинейность. Посмотрите статью
"Взаимодействие света со светом" [The Interaction of Light with Light, J.
A. Giordmaine, Scientific American (April 1964).]
1.14. Суперпозиция начальных условий дает суперпозицию соответствующих
движений. Предположим, что а и 6 - два связанных осциллятора. Рассмотрим
три различных начальных условия:
1. а и b начинают движение с амплитудами 1 и -1 соответственно.
2. а и b начинают движение с амплитудами 1 и 1.
3. а и 6 начинают движение с амплитудами 2 и 0 соответственно.
Таким образом, начальные условия 3 являются суперпозицией начальных
условий 1 и 2. Покажите, что движение в случае 3 явлиетси суперпозицией
движений 1 и 2.
1.15. Докажите задачу 1.14 в общем случае, когда в начальные условия
наряду со смещением входят скорости.
!.!6. Докажите справедливость принципа суперпозиции для неоднородных
линейных уравнений, приведенных после уравнения (36). Докажите, что
принцип суперпозиции неприменим к нелинейным неоднородным уравнениям.
1.17. Напишите три уравнения для системы стремя степенями свободы,
аналогичные уравнениям (47) и (48). Покажите, что для определенной моды
колебаний имеет место уравнение типа "определитель s=0". Оно аналогично
уравнению (56), но получается нз определителя третьего порядка. Покажите,
что это дает уравнение третьей степени относительно переменной (о2.
Поскольку кубическое уравнение имеет три решения, то существуют три моды.
Рассмотрите случай А степеней свободы и докажите, что для такой системы
существует N мод.
1.18. Опыт. Биения от слабо связанных неидентичных струн гитары.
Настройте две самые низкие струны гитары на одинаковую частоту. Щнпните
одну струну и наблюдайте за второй. (Струны должны быть настроены на одну
и ту же частоту как можно точнее. Показателем наиболее точной настройки
является получение максимальных биений в этом опыте.) Теперь щипните
другую струну. Передается ли энергия полностью от одной струны к другой в
процессе биений? Можно ли добиться полной передачи энергии, улучшив
настройку? Опишите, что вы наблюдаете. Как это объяснить? См. задачу
1.19.
1.19. Неидентичные связанные маятники. Рассмотрим два маитника, а и 6, с
одинаковой длиной нитей подвеса I, но с различными массами грузов Ма и
Мь. Маятники связаны пружиной, прикрепленной к массам и имеющей
коэффициент жесткости К- Покажите, что уравнения движения дли малых
колебаний имеют внд
Ма^ = - Maf$a + K (Ъь-тРа), фй_/С(фй_фа).
54
Решите эти уравнения для двух мод способом нормальных координат.
Покажите, что it>i=(A^0ii>a+A^j,i|>b)/(Afa+^b) и ф2=Фа -4*6 являются
нормальными координатами. Найдите частоты и конфигурации мод. Каков
физический смысл координат фх и фа? Найдите суперпозицию двух мод со
следующими начальными условиями: при t- 0 оба маятника имеют нулевую
скорость; маятник а имеет амплитуду А, и амплитуда маятника Ь равна нулю.
Пусть Е равно полной энергии, которую имеет маятник а в момент ?=0.
Найдите выражения для Ea(t) и Eb(t). Предположим, что связь слабая. Будет
ли энергия маятника а полностью передаваться маятнику Ь в течение цикла
биений? Возможно ли, что энергия передается полностью, если первоначально
вся энергия была у легкого маятника, и не передается полностью в
противоположном случае?
где М=Ма+МЬ-
Введя частоты шМод=1/2(<в2-wi) и шср=1/а(й>2+%), можно написать
Энергию каждого маятника легко найти, если связь между маятниками
невелика. В этом случае можно пренебречь изменениями sin <вмод^ или cos
<вмод^за один цикл быстрых колебаний, происходящих с частотой <вср, так
как шмод<^;(оср. Мы также пренебрегаем энергией, запасенной в любой
момент времени в пружине. Таким образом,
Итак, энергия маятника а (т. е. маятника, у которого в момент времени t=
0 была вся энергия) изменяется синусоидально с частотой биений, колеблясь
между максимальным значением Е и минимальным значением [(Ма-МЬ)/М]2Е.
Энергия маятника Ь колеблется с частотой биений между минимальным нулевым
значением и максимальным значением (4МаМь1М2)Е. Полная энергия Еа-\-Еь
постоянна (так как мы пренебрегли затуханием). Теперь вспомните домашний
опыт 1.18. Объясните, почему при неравных массах не происходит полной
передачи энергии. (Указание. Рассмотрите два предельных случая: 1.
Ма^>М". 2. Ма<^М".)
1.20. Поперечные колебания двух связанных масс. Используя либо
приближение "пружины", либо приближение малых колебаний, найдите два
связанных уравнения движения для поперечных смещений фа и трь (см. рис.
1.11).
а) Используйте описанный в тексте главы аналитический метод нахождения
частот и отношений амплитуд для обеих нормальных мод.
