Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 23

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 263 >> Следующая

F), поместите одни камертон у одного уха и другой камертон- у другого.
Если бы это явление было психологическим мы должны были бы слышать аккорд
и в этом случае. Так ли это? Приведем по крайней мере часть объяснения.
Пусть p(t) - звуковое давление снаружи барабанной перепонки, q(t) -
реакция барабанной перепонки (т. е. ее смещение); q(t) может быть
реакцией мембраны во внутреннем ухе - в этом мы точно ие уверены. Мы
хотим понять, почему реакция q(f] нашего слухового аппарата не
подчиняется принципу суперпозиции, т. е. почему реакция q(t) содержит ие
только частоты Vj (А440) и v2 (С523), ио также и третью частоту v3
(^jF349). Объяснение заключается в нелинейности. (Мы уже зиаем, что
принцип суперпозиции справедлив для лииейиых систем, и ниже мы опять
убедимся в этом.) Предположим, что реакция уха q(t) является нелинейной
функцией звукового давления p(t):
Ч (0 = аР (0+Pp2(0 + W3 (0-
Пусть p(t) - суперпозиция двух различных гармонических колебаний
(образованных двумя камертонами). Для простоты мы считаем, что амплитуды
колебаний одинаковы, а фазы равны нулю. Будем также считать, что в
выбранной системе
К' Мг К ' \
\\ЧЧЧ\ЧЧЧ\^"чЧЧ\ЧЧЧЧЧЧ\\Ч\\ЧЧ\4
Рнс. к задаче 1.11.
52
единиц амплитуды равны единице. Имеем
Р (t) = COS СО] t + cos со2t.
Реакция q(f) барабанной перепонки равна
q (t) = a [cos соД -[-cos со2П + Р [cos соД Д-cos иДр + 'у [cos соД + cos
соД]3.
Если p и у равны нулю, то говорят, что реакция q линейна. (Она
подчиняется в этом случае совершенно линейному закону Гука для пружины.)
Лииейиая реакция q(t)=a(cos соДД-cos соД) является суперпозицией
гармонических колебании с частотами и со2. (В этом случае вы ие слышите
F!) Член с коэффициентом р определяет квадратичную нелинейность, а
следующий член - кубическую.
Мы хотим представить реакцию q(t) в виде суперпозиции гармонических
колебаний. Для этого нужно несколько тригонометрических тождеств, которые
мы сейчас выведем. Пусть /(х)=cos х. Очевидно, что cos (x+y)+cos (х-у)-
=2 cos х cos у, т. е.
/ (х) / (У) = j- f (-с + У) + тг /(¦* -.У)¦
Используем этот результат для вывода равенства (необходимого для анализа
кубической нелинейности)
=у ? И + у П*-У) t (г) =
=у /(*+*/+z)+y f (*+у - z)+y / (x-y + z)+-^f (x-y - z).
Теперь займемся квадратичным членом реакции q(t). Полагая 0!=соД, 02=
=<дД, имеем (для квадратичной нелинейности)
(cos соД+ cos соД)2^[/ (0i) + / (02)Р =
Г I 1 1
+
= U (Oj) f (0i)]+[2/ (01) f (62)l + [f(02) f (02)1 =
[/ (0i 4- 02) + f (0i - 02)1 4-
yf(62 + 02) + y/(02-02)
Таким образом, в квадратичный член реакции входят частоты 2(0^ 0, Wj+Wj,
(Oi-со2 и 2со2, которые называются комбинационными тонами или
комбинационными частотами.
Кубический нелинейный член реакции имеет вид
(cos со Д + cos соД)3 = и (0!) + f (02)]3 = f3 (0Д + З/2 (00 / (02) +
+ 3f(0,)f2 (02) + f3 (02).
Используя равенство для f(x)f(y)f(z), мы видим, что член /3(0О является
суперпозицией гармонических колебаний с частотами За"! и &Д; член
/3(О1)/(02) определяется суперпозицией частот 2(0^ (?>2, 20"!-со2 и со2;
член /(0О/2(02) является суперпозицией частот 2C02+W!, 2со2-и со2; член
f3(02) является суперпозицией частот Зсо2 и со2. Таким образом,
кубический член реакции является суперпозицией гармонических колебаний с
частотами Зсох, tt^, 2со1+со2, 2C02+C0J, со2 и Зсо2.
Вернемся теперь к нашему опыту. Простые арифметические выкладки показали
нам, что F не связано с квадратичным нелинейным членом, а определяется
вкладом кубического нелинейного члена, а именно частотой 20^-со2:
Vi = А440, v2 = C523, 2v,-v2 = 880-523 = 357.
Для равномерно темперированного строя частота ноты F равна 349 гц. Таким
образом, 2v2-v2 достаточно близко к F.
Теперь рассмотрим интересный вопрос. Связана ли причина кубической
нелинейности с барабанной перепонкой или же с резонирующей основной
перепонкой?
53
Автору кажется, что кубическая нелинейность не связана с барабанной
перепонкой, и вот по каким соображениям: отодвигая два камертона от уха,
так что интенсивность, получаемая от каждого камертона, уменьшается, я
все равно слышу ноту F. Если бы это происходило из-за нелинейной реакции
барабанной перепонки, то громкость этой ноты падала бы с расстоянием
значительно быстрее, чем громкость нот V! и v2. Кроме того, должен был бы
присутствовать нелинейный вклад с частотой 2v2-v1= 1046-440=606^: пол
овина расстоиния между D и D^.,
но эта нота не слышна. Все это еще не доказывает, что за явление
ответственна основная перепонка, однако ставит под сомнение влияние
барабанной перепонки. Могут ли здесь играть какую-либо роль нервные
окончания основной перепонки, автору неизвестно. (Он обнаружил этот
эффект случайно, работая над домашними опытами. Возможно, этот эффект
хорошо известен и понятен.)
Оптические гармоники. Возможно образование оптических гармоник (а также
суммы и разности частот, т. е. комбинационных частот). Для этого нужен
незначительный нелинейный вклад в диэлектрическую постоянную прозрачного
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed