Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
призму. Тонкой называется призма, у которой угол а при вершине настолько
мал, что можно использовать приближение малого
угла: sin а "а, cosa"l. Для |-е-"-| углов падения, близких к
нор-
мальному, мы можем использовать это приближение и для урла падения. В
этом случае монохроматическая плоская волна отклоняется к основанию
призмы на угол б:
W ¦
6 = (га- \)а. (89)
До тех пор, пока падение можно считать близким к нормальному, угол
отклонения б постоянен. Уравнение (89) легко вывести следующим образом
(рис. 9.25). В основании призмы волновой фронт проходит расстояние I со
скоростью г/га. У вершины скорость в га раз больше (так как толщина
призмы нуль), и поэтому тот же фронт за то же время пройдет расстояние
га/. Поэтому фронт у вершины окажется впереди на величину (га - 1) /. Эта
величина, деленная на высоту призмы W, представляет (для малых углов)
Рнс. 9.25. Отклонение луча тонкой призмой.
453
угол отклонения б = (п - I) (1/W) - (п - 1)а, т. е. имеем уравнение (89).
Цветовая дисперсия призмы. В качестве примера тонкой призмы возьмем
призму с углом при вершине а = 30° и д=1,50 (в этом случае для нашей
задачи приближение малого угла еще не будет слишком плохим). Тогда в
соответствии с уравнением (89) отклонение б равно 15°. В действительности
это - среднее отклонение, потому что для типичного стекла со средним
коэффициентом преломления 1,5 голубой свет с длиной волны в 0,45 мкм
имеет показатель преломления на 0,01 больше, чем красный свет с длиной
волны в 0,65 мкм. Поэтому голубой свет отклонится больше, чем красный, на
величину 0,01 а. При а = 30° зеленый свет отклоняется на 0,3°, или
примерно на 1/200 радиана, больше, чем красный. На экране, расположенном
в метре за призмой, голубая полоса будет отделена от красной на 0,5 см.
Этот дисперсионный эффект стеклянной призмы используется в призменном
спектрометре.
В оптических инструментах со стеклянными линзами дисперсия приводит к
появлению хроматических аберраций: лучи различного цвета не фокусируются
в одном и том же месте. В телескопе можно избежать хроматической
аберрации, используя вместо линзы параболическое зеркало для
фокусирования света. (Закон зеркального отражения справедлив для всех
цветов.) Хроматическую аберрацию можно исключить, используя также два
типа стекла с различной дисперсией. (См. задачу 9.53.)
Фокусировка параксиальных лучей тонкой линзой. Предположим, что мы имеем
стеклянную линзу в воздухе с двумя выпуклыми сферическими поверхностями,
перпендикулярными общей оси симметрии z. Луч света падает слева,
распространяясь параллельно оси симметрии линзы, на расстоянии y = h от
оси. Если линза тонкая, то мы пренебрегаем (по определению) изменением
ординаты у при прохождении луча через линзу. Пренебрегаем также толщиной
линзы по сравнению с ее фокусным расстоянием. Мы ограничиваемся
рассмотрением параксиальных лучей, т. е. таких лучей, для которых
ординаты малы по сравнению с радиусом кривизны обеих поверхностей. В этих
условиях для всех интересующих нас углов справедливо приближение малого
угла.
Найдем фокус линзы F, т. е. точку на оси симметрии линзы, в которой лучи,
падающие на линзу параллельно этой оси, пересекут ее после отклонения
линзой (рис. 9.26). Если падающий луч фокусируется в F, то он отклонен на
малый угол
6 = ft//. (90)
Необходимое условие существования фокуса. Необходимым условием
существования общей фокальной точки (фокуса) для всех параллельных и
параксиальных лучей, падающих на линзу, является линейная
пропорциональность отклонения луча его смещению h от оси. Если уравнение
(90) удовлетворяется для всех h (при условии малых угловых отклонений),
то все параллельные лучи будут
454
фокусироваться на одинаковом расстоянии / за линзой. Это условие
справедливо для любых подобных задач фокусирования, например для
фокусирования магнитной линзой пучка заряженных частиц. Нам осталось
показать, что тонкая линза со сферическими поверхностями удовлетворяет
уравнению (90) с /, не зависящими от h. Это можно сделать следующим
образом. Рассмотрим луч на рис. 9.26.
Рис. 9.26. Тонкая линза. Приходящий луч параллелен оси.
Этот луч может быть отклонен на тот же угол б эквивалентной тонкой
призмой. Первая поверхность этой призмы составляет угол h/Rx с
вертикалью, вторая - угол h/R2 (но отсчитанный в другую сторону). Поэтому
угол а у вершины нашей воображаемой призмы равен hRx1 -\- hRj1- Угол
отклонения луча такой призмой равен (п- 1) а, т. е.
8 = (n-l)h(Rr1 + RT1)- (91)
Формула линзы. Уравнение (91) удовлетворяет условию образования фокуса,
заключающемуся в том, что 6 пропорционально Л. Положение фокуса (фокусное
расстояние) следует из формулы (90):
у = ("- 1) • (92)
Уравнение (92) называется формулой линзы.
Фокальная плоскость. Теперь рассмотрим пучок параллельных лучей,
образующий угол 0 с осью симметрии. Отклонение пучка тонкой призмой не
зависит от угла падения (для малых углов).
А ув
""
Ц Фокальная z плоскость
