Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Расстояния cU = = rti/i и rf2 = ra2/2 называются оптическими длинами.
Полная оптическая длина c(tx + t2) минимальна, если минимально полное
время распространения. Таким образом, мы хотим найти точку Р, для
450
(85)
(86)
которой было бы справедливо равенство
Оптическая длина = nj, -)- п212 = минимум.
Из рис. 9.21 имеем
Оптическая длина = п1 (у\ + х\у/> + п2 (у% + х\у/>.
Сдвинем точку Р на бесконечно малое расстояние от положения (которое еще
не известно), дающего минимальный оптический путь. Обозначим через d
(опт. дл.) изменение оптической длины в результате такого смещения. Чтобы
найти сЦопт. дд.), продифференцируем уравнение (86). Поскольку Р
смещается вдоль границы, то переменными являются только Xi и л:2. Так как
положение атомов а я е неизменно, то сумма Xi + х2 постоянна и приращение
dx2 вследствие смещения точки Р будет равно приращению dxu взятому с
обратным знаком. Таким образом, имеем
^(опт. pn.) = n1dt1-\-n2dl2 =
= n,d (у\ + х\)Ч* + n2d (yt + xi)1/* =
П,Х, dx!
п2хг dx*
(у\+х\У' = ^dxx
w
(у1 + х1Уи
, n,x.
U
(-dx,). (87)
Рис. 9.21. Преломление. Оптическая длина пути /1 ni-j-/2n2 зависит от
положения точки Р. В соответствии с принципом Ферма свет из а в е
проходит по траектории, для которой оптическая длина пути минимальна. В
этом случае траектория аРе расположена вдоль интерференционного
максимума, аналогично траектории асе на рис. 9.20.
В уравнении (87) можно пренебречь членами более высокого порядка,
включающими dxх2, dx\ и т. д. Теперь предположим, что точка Р выбрана
так, что аРе совпадает с направлением пучка. Тогда, в соответствии с
принципом Ферма, производная первого,порядка по Xi равна нулю. Из
уравнения (87) имеем
Т1\Х\
d (опт. дл.) = 0 =
U.
dxlt
т. е.
т. е.
(88)
nL sin 0j = ti2 sin 02,
что и есть закон Снеллиуса.
Теперь рассмотрим некоторые основные оптические устройства. Эллиптическое
зеркало. На рис. 9.22 мы видим полый эллипсоид вращения с зеркальной
внутренней поверхностью и с точечным
15*
451
источником F, расположенным в одном из главных фокусов. Из определения
эллипса следует, что расстояние от F до второго фокуса F' одинаково для
всех лучей. Поэтому фокус F' является местом полной конструктивной
интерференции для излучения, испущенного электронами на поверхности,
которые в свою очередь находятся под воздействием излучения из F. Мы
говорим, что источник, расположенный в F, изображается в точке F'.
Изображение в F' не является точкой, фаза результирующего поля в точке
около F' может лежать в диапазоне ± я относительно фазы в F' при условии,
что точка лежит внутри сферы радиусом примерно А/4 с центром в F'. Такова
грубая оценка размера изображения в F'.
Вогнутое параболическое зеркало. Предположим, что у эллипсоида
Рис. 9.22. Эллиптическое зеркало.
на рис. 9.22 фокус F и фокусное расстояние / остаются неизменными, а
фокус F' движется вправо, т. е. эллипс растягивается. Если F' сместился
бесконечно далеко вправо, то эллипсоид вырождается в параболоид. Лучи,
испущенные из F, образуют при отражении параллельный пучок (потому что
они фокусируются в F', который бесконечно удален, рис. 9.23).
Если апертура параболического зеркала имеет диаметр D, то точечный
источник в Ё не образует идеально параллельного пучка. Угловая ширина
интерференционного максимума равна A0"A/D, и лишь при бесконечно большом
D мы получили бы идеальную плоскую волну от точечного источника.
Действительно, падающая плоская волна фокусируется в F в изображение,
которое будет точечным только при бесконечно большом D. Изображение в
фокусе имеет ширину Ахл;/ А0 "/A/D.
Вогнутое сферическое зеркало. Говорят, что сфера "пристроена" в вершине
параболоида, если она касается вершины и имеет тот же радиус кривизны,
что и параболоид в точке касания. Нетрудно показать, что радиус такой
сферы равен 2/ (рис. 9.24).
452
Вогнутое сферическое зеркало ("в контакте" с воображаемым касательным
параболическим зеркалом).
Центр сферы в точке С, ее радиус 2/. Луч а, отраженный от сферы, не
параллелен оси. Это демонстрирует сферическую аберрацию.
Сферическая аберрация. Для апертуры небольшого диаметра (D 2/)
поверхность сферического зеркала практически совпадает (слева от фокуса)
с поверхностью параболического зеркала. В этом случае точечный источник,
находящийся в F, образует почти параллельный пучок. Для больших апертур
расхождение сферической и параболической поверхностей приводит к
сферической аберрации (т. е. к отклонению лучей от параллельности, рис.
9.24). Некоторый опыт в обращении с вогнутыми зеркалами можно получить,
используя дешевое зеркало для бритья. Получите с таким зеркалом
изображение (например) пламени свечи или вашего лица. (Для этой цели
может подойти и вогнутая поверхность новой блестящей ложки.) Для опытов с
вогнутыми зеркалами можно Рис.9.24, использовать посеребренные
сферические елочные украшения (или переверните ложку).
Отклонение луча света при почти нормальном падении на тонкую стеклянную
