Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
такой же, как и ранее рассмотренная картина (п. 9.2) дифракции от двух
узких щелей, за тем исключением, что постоянная амплитуда А (г) вклада от
каждой щели теперь (в случае двух широких щелей) заменяется на множитель,
440
пропорциональный sin 112Ф/112Ф. Другими словами, дифракционная картина от
двух бесконечно узких щелей будет модулирована функцией sin 72Ф/72Ф.
Комбинируя полученные ранее результаты для двух узких щелей [формула
(13), п. 9.2] с модулирующей функцией, мы найдем, что дифракционная
картина (если обе щели возбуждаются с одинаковой фазой) имеет вид
? (0, t) = А (в) cos (kr--at), (73)
Ч (0) = Л (0) cos V2Дф" (74)
Ф = kD sin 0 = 2it , (75)
Аф - kd sin 0 = 2jt d У , (76)
где D - ширина каждой щели, d - расстояние между щелями и г - расстояние
от точки наблюдения Р до середины между щелями. Если D стремится к нулю,
то центральный максимум постепенно занимает все поле зрения, и мы
получаем результат п. 9.2 для двух узких щелей.
Распределение интенсивности I (0) пропорционально среднему во времени от
квадрата электрического поля. В соответствии с выражениями (73) и (74) мы
имеем
/(0) = /(°)(1!Д^)а(соза1/2Аф). (77)
Множитель соз21/аАф обусловливает быстрое чередование интенсивности в
зависимости от 0, с расстоянием между отдельными максимумами в X/d. Член
(sin 72Ф/72Ф)2 определяет форму модулирующей функции, полная угловая
ширина которой на половине интенсивности равна Х/D. Полная ширина
углового интервала между нулями интенсивности с обеих сторон центрального
максимума равна 2Х/D. Сосчитав число "двухщелевых полос" в центральном
максимуме, определяемом модуляционной функцией от одной щелн, мы можем
найти отношение d/D для наших двух щелей. Распределение интенсивности,
соответствующее формуле (77), показано на рис. 9.15.
Дифракционная картина от многих одинаковых и параллельных широких щелей.
Из приведенного выше описания дифракционной картины от двух широких щелей
следует, что при большом числе таких щелей дифракционную картину легко
получить умножением амплитудной модулирующей функции з1п1/2Ф/1/2Ф на
интерференционную картину, полученную в предположении, что щели узкие.
Интерференционная картина от многих ищей. Рассмотрим зависимость
интерференционной картины, созданной большим количеством (N) "антенн"
(рис. 9.13), от числа N. (Вместо антенн можно рассматривать N узких
щелей.) Перепишем уравнение (54),
441
определяющее амплитуду для узких щелей:
? (г, 0, t) = A(r, 0)cos (kr-at), (78)
Л(г, 0) = Л(г)^4^^. (79)
Дф = 2л^^. (80)
Главные максимумы, центральный максимум, источник белого света. Углы,
для которых знаменатель (и числитель) выражения
(79) обращается в нуль, равны Лф/2 = 0, ±it, ±2it и т. д.
Для
¦таких углов разность хода d sin 0 равна 0, и т. д., что соответствует
полностью конструктивной интерференции между всеми N антеннами.
Максимумы, получаемые при этом, называются главными максимумами:
d sin 0 = 0, Д; X, i 2Х, ..., тХ (tn = 0, +1, rt 2, . ..). (01)
Максимум при 0=0 называется центральным максимумом или максимумом
нулевого порядка. Максимумы при т =± 1 называются максимумами первого
порядка и т. д. Центральный максимум отличается от остальных главных
максимумов одним важным свойством: вклады от всех антенн в центральный
максимум находятся в фазе независимо от длины волны. Поэтому в случае
белого источника центральный максимум белый. Для всех других главных
максимумов положение максимума зависит от длины волны, т. е. от цвета.
Для главного максимума амплитуда суперпозиции будет в N раз больше
амплитуды вклада от каждой щели (антенны). Физически это очевидно и
непосредственно следует из выражения (79), так как для центрального
максимума Лф = 0 и отношение sin Nx/s'm х (мы полагаем Ац>/2 = х) равно
. Nx--?- (Nx)3-/ ..,
sin Nx 6 .т
=------------------------------------------ = Д7
Sin X 1 , ,
*-=*3+...
N (82)
6
для х->-0.
Для максимума первого порядка (т =+ 1) мы можем показать, что предел sin
ЛД/sin х при х, стремящемся к it, равен ±N. Введем для этого малый угол
е, учитывающий отличие х от it:
х - it - е,
sin Nx ___ sin (7Уя - Ns) _ ,_1. Л,+ 1 sin Ns
sin л: sin (я - e) ' ' sin e * ' '
При стремлении e к нулю мы получаем, что предел отношения равен (-
1)Л,+1Л/ = ±N.
Угловая ширина главного максимума. С увеличением N угловая ширина главных
максимумов уменьшается. Исследуя выражение (79), легко получить угловой
интервал от главного максимума до первого нуля или интервал от максимума
до максимума. Для главного максимума и числитель и знаменатель равны
нулю. Когда
442
аргумент 1/iN Лер синусоидальной функции в числителе уравнения (79)
возрастет на л, числитель снова обратится в нуль. (Знаменатель при этом
не равен нулю.) Таким образом, при перемещении от главного максимума до
первого нуля амплитуды произошло приращение фазы Лф на 2л/N. Этому
соответствует приращение разности хода d sin 0, равноеХ/N.
Мы знаем, что приращение разности хода между двумя последовательными
