Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
kx = = ksin6 и kz = kcosQ. Для малых углов sin 0 " 0, cos0"l. Итак, х-
компонента вектора к равна
kx " kQ. (65)
Но мы уже видели, что угловой разброс пучка относительно основного
направления z равен
Д6 " X/D. (66)
Поэтому разброс значений kx равен [используем равенства (65)
и (66)]
Akx я* k Д6 " k X/D =2jt/D.
Обозначив полную ширину пучка D в направлении х через Ах, получим
________________
' ' (67)
Akr Ах Д 2л.
Неравенство напоминает нам о том, что дифракционный предел достигается
лишь в том случае, если источники когерентны.
Выразим сказанное в более явном виде. В соответствии с построением
Гюйгенса мы должны рассмотреть излучающую пластину, состоящую из
источников, равномерно распределенных вдоль оси хот х - -D/2 до х =+D/2.
Все источники имеют одинаковую амплитуду и фазовую постоянную. График
зависимости амплитуды источников от х обращается в нуль всюду, за
исключением области шириной D, центр которой в начале координат. Таким
образом, по координате х мы имеем дело с "прямоугольной волной",
438
Мы можем применить к этой "волне" (импульсу) фурье-анализ и представить
ее в виде суперпозиции синусоидальных функций sin kxx и cos kxx точно так
же, как это было сделано для прямоугольного временного импульса, который
был разложен по функциям cos со/. Выражение (6.95) из п. 6.4 дает
преобразование Фурье для временного прямоугольного импульса /(/) с
высотой 1/А/ и шириной At:
= <68)
По аналогии прямоугольный импульс f{x) протяженностью D и высотой 1 [D
должен иметь следующее преобразование Фурье:
(69)
но
kxD = kD зт0 = Ф. (70)
Поэтому
(71)
Сравнивая уравнения (71) и (60), мы видим, что амплитуда поля,
регистрируемого под углом 0 (который задан через kx), равна (с точностью
до постоянного множителя) фурье-преобразованию амплитуды источника в щели
(т. е. фурье-преобразованию прямоугольного импульса). В щели амплитуда
колебаний равна f(x) cos со/, где f(x) - сила источника (для нашего
случая сила источника постоянна по всей ширине щели). На расстоянии г и в
направлении 0 бегущая волна получается заменой cos со/ на cos (со/ - kr)
и f(x) - на фурье-преобразование В(кх). Другой поперечный размер пучка у
удовлетворяет соотношению, аналогичному уравнению (67), но с заменой х на
у.
Важные результаты фурье-анализа. Учитывая результаты фурье-анализа для
продольной компоненты kz волнового вектора, а также результаты частотного
фурье-анализа, имеем
Akx Ах^2я, Акг Аг^2л, \
АкуАу^2л, Асо А/^ 2я. J
Фурье-анализ дает нам мощный метод вычисления дифракционной картины.
Однако здесь мы не будем этим заниматься (см. задачу 9.59).
Дифракционная картина от двух широких щелей. Две параллельные щели можно
получить следующим образом. Плотно прикрепите лентой скотча или приклейте
по краям предметного стекла микроскопа кусок тонкой алюминиевой фольги.
Используя, например, в качестве линейки второе предметное стекло
микроскопа, осторожно процарапайте по фольге прямую линию с помощью
лезвия бритвы. Вторую щель проведите как можно ближе к первой, стараясь
не испортить ее. Нетрудно прорезать две щели с расстоянием между ними,
меньшим 0,5 мм. Расположив щели близко к
439
глазу, посмотрите на линейный источник. Сделайте это с красным фильтром и
без него. Близко расположенные друг к другу интерференционные полосы
соответствуют интерференционной картине от двух щелей. Угловое расстояние
между полосами равно X/d радиан (полагаем sin 0^0). Теперь сделайте
описанным выше способом одну щель (можно на этом же предметном стекле) и
сравните картины от одной и двух щелей. Обратите внимание на то, что
картина от двух щелей модулирована картиной от одной щели (рис. 9.15).
Рис. 9 15. Дифракция от двух щелей для случая, когда расстояние между
щелями d в 4 раза больше ширины каждой щели.
Величины углового расстояния K/d и полной ширины 2К/D получены для
приближения малого угла sin 8"0.
Обычно довольно трудно разглядеть картину от двух щелей, за исключением
той ее части, которая лежит в области главного максимума картины от одной
щели. (Имея красный фильтр и хорошо сделанную двойную щель, можно
разглядеть и другие части дифракционной картины.)
Приведем объяснение возникновения картины. Каждая щель является
источником электрического поля, регистрируемого детектором (сетчаткой
глаза). Поле от каждой щели имеет определенную амплитуду и фазовую
постоянную. Эта постоянная вклада от всей щели такая же, как и от
отдельного (дифференциального) вклада ("антенны"), поступающего из центра
щели. Действительно, в выражение для волны от одной щели входит множитель
cos (kr - сat), где г - расстояние от центра щели до детектора. [См.
формулы (60) и (53).] Амплитуда волны от одной щели пропорциональна sin
1/2Ф/1/2Ф, где Ф - разность фаз вкладов от противоположных краев щели.
Когда мы имеем две такие щели, расстояние между которыми d, то фаза
вклада от каждой щели совпадает с фазой от узкой щели, мысленно
расположенной в центре данной щели. Таким образом, картина получается
