Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
a- 1
pi Дф.
-1
e' ('/г) Дф [у ('/г) Дф _ g- I ('/г) <
-сП"/.НАГ-11Дф slnl/,AfAq) sin v2 Дф
Тогда уравнение (47) можно переписать так:
Е = A Me-?"iVfePi+<72)(w-1)dsinej sin AcP_^ C sin !/g Дф
-A sin 1/VVAq)
' sin Va Дф '
(51)
(52)
433
где величина
г =з г1 + 112 (N - 1) dsin 0 = r1+1l2D sin0. (53)
определяет расстояние от точки Р до центра группы антенн. Взяв реальную
часть выражения (52), получим для поля в точке Р
Eir, е.
~A(r, 0)cos (kr- cot). (54)
Покажем, что для N = 2 уравнение (54) дает такой же результат, что и
уравнения (12) и (13) в п. 9.2. Используя равенства sin 2х- = 2 sin x cos
х, где х = Лф/2, имеем
Е(г, О, = =
= [2 A cos V* Лф] cos (kr- at),
что согласуется с результатами, полученными раньше.
Дифракционная картина от одной щели. Устремим N к бесконечности, не
меняя ширины щели D. Расстояние d при этом стремится к нулю.
Разность фаз Лф между колебаниями двух соседних
антенн также стремится к нулю. Полный сдвиг фаз Ф между колебаниями
первой и N-& антенн в точке Р точно равен (N - 1)Лф. При большом N
фазовый сдвиг можно считать приблизительно равным ЛГДф:
Ф - (N-1) Лф = &Г> sin 6, (55)
Ф"УЛф, N^> 1. (56)
Модулированная амплитуда [равенство (54)] равна
А (г в1) _ A jr\ S'n 1</21^ Аф ^ A (r\ s'n УаФ
А (Г, 0) А (г) sin iy2 Дф ~ л Уг) sin [1/2 (ф/N)] ' ^ '
В пределе, когда N достаточно велико, мы можем пренебречь в разложении
sin [у, (Ф/Ау] в уравнении (57) в ряд Тейлора всеми членами, кроме
первого:
sin V, -F ~ V2 , (58)
Л(г,0) = МЛ(г)^^. (59)
Сделаем еще одно упрощение. По мере того, как N устремляется к
бесконечности, мы должны устремить А (г) к нулю, но при этом произведение
N А (г) должно оставаться постоянным, поскольку мы хотим иметь одинаковый
вклад от данного бесконечно малого элемента dx непрерывной группы
источников независимо от того, сколько антенн содержит группа. (Напомним,
что мы используем антенны Гюйгенса.) Заметим, что когда 0 стремится к
нулю, то и Ф стремится к нулю, а отношение sin УаФ/Уа(r) стремится к
единице: 1 .
В соответствии с уравнением (59) А (г, 0) = NA (/")• 1, и окончатель но
получим
" sin у/оФ
. У.Ф
В (г, 0, t) = A(r, 0)
cos (kr- at),
где
Ф = 2л
D sin 0
(60)
(61)
Угловая зависимость (при заданном г) среднего во времени потока энергии
получается из уравнения (60):
1(г, 0) = /маКс (62)
Распределения амплитуды и интенсивности показаны на рис. 9.14,
Рис. 9.14. Дифракция от одной щели. а) Амплитуда, б) Интенсивность.
Угловой интервал А0, простирающийся от -1/2\/D до Н~*/я '^/В>
приблнзнтельно отвечает (для малых углов) "полной ширине для половинной
интенсивности". Более точно, интенсивность на границах интервала
составляет (J/ft)" = 0,4l
интенсивности в максимуме.
Угловой разброс пучка, ограниченного дифракцией. Теперь мы можем
подтвердить полученный в п. 9.5 результат, согласно которому пучок
шириной D имеет угловой разброс порядка Х/D. Точная зависимость амплитуды
и интенсивности от угла 0 показана на рис. 9.14. Основное свойство
графика интенсивности заключается в том, что интенсивность велика только
в интервале углов между 0 = _1 /2А/?> и 0 = +7Д/Т>:
A 6 = X/D. (63)
Простейший способ наблюдения дифракционной картины от одной щели состоит
в следующем. Возьмите два маленьких куска
435
бумаги с прямыми краями и расположите куски бумаги (в руках) так, чтобы
края были параллельны, т. е. чтобы образовалась щель. Посмотрите через
эту щель на точечный или линейный источник так, чтобы щель была
параллельна источнику. Расположите щель близко перед глазами. Изменяйте
ширину щели от "нуля" до "бесконечности", где "нуль" - это нуль, а
"бесконечность" - это примерно 1 мм. Хорошую щель можно получить, смотря
между зубцами обычной обеденной вилки. Расположите вилку близко перед
глазами. Расстояние между зубцами вилки слишком велико, поэтому вы должны
поворачивать ее до тех пор, пока проекция этого расстояния не станет
достаточной малой. Поворачивая вилку, вы можете менять величину проекции
и наблюдать за изменением интерференционной картины. С помощью быстрых (и
грубых) измерений можно (грубо) проверить справедливость уравнения (63).
См. домашний опыт 9.17.
Разрешающая способность глаза. Возьмите миллиметровую шкалу или сделайте
метки на листе белой бумаги и найдите расстояние от бумаги до глаза, на
котором метки покажутся совпадающими друг с другом, т. е. неразрешимыми.
Обычно, если расстояние между метками равно 1 мм, то они плохо разрешимы
на расстоянии в 2 м и совсем неразрешимы на расстояния 4 м. Таким
образом, если глаз находится в центре поля зрения (т. е. когда вы
смотрите прямо на линии), то предельное значение углового разрешения
близко к А0яа 1 лш/2 м = 1/2000. Теперь посмотрите в зеркало и с помощью
линейки, расположенной близко к глазу, измерьте диаметр D вашего зрачка.
Обычно D&2 мм. Дифракционный предел углового разрешения вашего глаза
определяется угловым размером изображения пятна от падающей плоской
волны, испущенной удаленным точечным источником, на сетчатке глаза.
