Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
экран с отверстием (щелью) излучает слабо или сильно в обратном
направлении в зависимости от того, является ли поверхность, на которую
падает излучение, черной или блестящей. Принцип Гюйгенса не позволяет
вычислить поле слева от экрана (излучение на рис. 9.12 падает на экран
слева), так как мы пренебрегли изменениями амплитуды и фазы, возникающими
между передней и задней поверхностями пробки. Эти изменения зависят от
того, является ли поверхность, на которую падает излучение, блестящей или
черной.
Необходимо еще одно замечание. В уравнении (43) мы предположили, что поля
Еа и Еь одинаковы как с пробкой, так и без нее. Как упоминалось выше, это
является приближением. Допустим, что мы имеем одну широкую щель и
используем принцип Гюйгенса для вычисления поля справа от экрана и поля
непосредственно в самой щели. Если мы находимся достаточно далеко справа
от экрана и не очень смещены относительно прямого направления,
проведенного через центр щели, и если ширина экрана равна многим длинам
волн, то принцип Гюйгенса дает очень хорошее приближение. Если же мы ищем
поле в непосредственной близости от щели, то вычисления, сделанные с
помощью принципа Гюйгенса, будут очень грубыми. На поле непосредственно в
самой щели решающее действие оказывает движение зарядов в экране,
находящихся около краев щели. Но именно на этом движении зарядов больше
всего сказывается удаление пробки. Поэтому в самой щели и особенно у ее
краев картина поля может быть очень сложной. Вы спросите: а почему не
решить эту задачу точно? Дело в том, что сделать это очень трудно. Вы
должны применить уравнения Максвелла для всех областей вакуума и
вещества, точно задать свойства материала и верно определить граничные
условия. Не существует общих методов решения этой задачи, и лишь для
нескольких задач такого рода было получено точное решение,
431
Использование построения Гюйгенса для вычисления дифракционной картины от
одной щели. Мы хотим вычислить дифракционную картину для случая, когда
плоская волна (испущенная удаленным точечным источником) падает на щель.
Используя построение Гюйгенса, мысленно заменим падающую плоскую волну
(или удаленный точечный источник) и материал экрана излучающей пластиной,
т. е. "пробкой" Гюйгенса. Поскольку распределение колеблющихся зарядов
вдоль пластины непрерывно, мы должны будем при оценке действия пластины
произвести интегрирование (т. е. вычислить суперпозицию) по вкладам от
всех бесконечно малых элементов пластины. Вместо интегрирования мы можем
(и
Рис. 9.13. N антенн нли N узких щелей с зарядами, колеблющимися в фазе.
будем) рассматривать дискретную сумму, образованную вкладами от N
одинаковых, находящихся на равном расстоянии друг от друга "антенн". В
пределе, устремив N к бесконечности, мы получим непрерывное распределение
излучающих источников. (Преимущество в использовании дискретных, а не
непрерывно распределенных источников заключается в том, что мы
одновременно получаем дифракционную картину от N антенн или N узких щелей
для произвольного N от N - 2 до бесконечности.)
Пусть полная ширина широкой щели равна D. В этом случае D представляет
собой ширину области, содержащей нашу линейную группу из N антенн
Гюйгенса. Пусть расстояние между соседними антеннами равно d, тогда D =
(N- 1 )d. Будем считать, что плоская волна распространяется в
положительном направлении оси г и N узких щелей расположены по оси х
(рис. 9.13).
В далекой точке поля Р каждая антенна дает вклад, имеющий одинаковую
амплитуду А (г) (точка Р достаточно удалена, и мы можем считать, что она
находится на приблизительно одинаковом расстоянии от всех антенн). Далее,
все антенны излучают с одинаковой фазой (по предположению), Электрическое
поле в точке Р
432
равно следующей сумме:
? = А (г) cos (krx - Ы) + А (г) cos (krt - • • •
. . . + А (г) cos {krN- at). (44)
Мы хотим представить эту суперпозицию N бегущих волн одной бегущей
волной, распространяющейся (выходящей) из среднего положения группы
антенн, амплитуда которой зависит от угла испускания. (Именно так мы
поступали, рассматривая интерференционную картину от двух источников в п.
9.2. Там для N = 2 мы получили такой же результат.) Мы можем упростить
алгебраические выкладки, используя комплексное представление колебаний.
Поле Е является реальной частью комплексной величины
Ес = А(г) е~ш (eikr' + eikr' + ... +eikrN). (45)
В соответствии с рис. 9.13 имеем
г2 = гг -\-d siri 0, r3 = rx + 2d sin 0,
rN=ri + (M - 1) dsin 0.
С учетом равенств (46) уравнение (45) можно переписать так: ЕС = А (г)
е~ше1кг• (1 -f eik ('Wi) (r3-rt) _(-...) =
где
. +а
.V-1
(46)
= А(г)е~ше(к^ S, (47)
(48)
: gik (г2~ rt) _ gik (d sin 0) gi Дф
(49)
Разность фаз Аф для волн в точке Р от двух соседних антенн равна
2л
Аф = kd sin 0 :
. sin I
(50)
Для геометрической прогрессии S [уравнение (48)] справедливо соотношение
т. е.
аЛГ_1 etN Аф - j
aS-S = aN- 1,
ei ('/2)N Дф |y (V2)JV Дф_ e-i (V,) N Дф]
