Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, это был квадратичный детектор.
*) А. Т. Forrester, R. A. Gudmundsen, Р. О. Johnson, Photoelectric mixing
of incoherent light (Фотоэлектрическое смешение некогерентного света),
Phys. Rev. 99, 1691 (1955).
45
Изменение во времени выходной величины тока этого детектора аналогично
изменению "громкости" Лмод на рис. 1.13.
Пример 13. Биения между двумя нормальными модами колебаний двух слабо
связанных одинаковых осцилляторов. Рассмотрим систему из двух одинаковых
маятников, соединенных пружиной (рис. 1.14). Нормальные моды колебаний
такой системы угадываются по аналогии со случаем продольных колебаний
двух масс, рассмотренным в п. 1.4. Для моды 1 имеем i|5e=iJv В этом
случае пружину можно не учитывать, так как возвращающая сила образуется
Рнс. 1.14. Связанные одинаковые маятннкн. а) Равновесие; б) мода с
меньшей частотой; в) мода с большей частотой.
только силой тяжести. Возвращающая сила на единицу смещения и на единицу
массы (для случая малых колебаний, когда возвращающая сила линейна) будет
равна MgQ/lQM=g/l:
мода 1: a>l = g/l, i|Ja = i|v (88)
Для моды 2 колебаний г|)в=-г|)ь. Рассмотрим левый маятник. Возвращающая
сила, вызванная пружиной, равна 2Д-ф0. (Двойка появляется потому,что
пружина сжата на величину 2х(за.) Возвращающая сила, обусловленная силой
тяжести, равна Mg%=Mg$Jl. Обе эти силы имеют одинаковый знак, поэтому
полная возвращающая сила на единицу массы и на единицу смещения будет:
мода 2: = f + Фв=- 4V (89)
Мы хотим рассмотреть "биения между двумя модами колебаний" нашей системы.
Что это значит? Каждая мода - это гармоническое колебание заданной
частоты. В общем случае движение маятника а будет суперпозицией двух мод:
Ф"(0 = 'Ы0 + 'Ы0-
Например, г|:а будет иметь вид, показанный на рис. 1.13, если частоты и
амплитуды обеих мод примерно одинаковы. В этом случае движение маятника а
будет представлять собой биения. (Как мы увидим, то же следует сказать и
о маятнике Ь.)
46
В любой системе с двумя степенями свободы можно создать биения. Наша
система удобна тем, что подбором пружины или массы М легко добиться,
чтобы разность -v2 была мала по сравнению со средней частотой. [Это видно
из формул (88) и (89).]
Как будут выглядеть биения? В соответствии с тем, что говорилось в п.
1.4, смещения маятников ф0 и фь могут быть выражены в нормальных
координатах фч и ф2:
Ф" = Ч>1 + Ь = А1 C0S К* + <Pl) + А2 C0S К* + ф"), 1 Фь = ф1 -Ф2 = /4jCos
(со^ + фО -Л2 cos (со2^ + ф2). j (
Эффект биений будет наибольшим, если амплитуды двух мод равны. (Если одна
из амплитуд Ах или Аг мала по сравнению с другой, биений не будет, так
как практически есть только одно гармоническое колебание.) Поэтому
положим Аг=А2=А. Фазовые константы q>i и ф2 связаны выбором начальных
условий; мы положим их равными нулю: q>i=cp2=0. Тогда равенства (90)
принимают вид
фа (t) = A cos (о^ + A cos cd2A 1
фь (/) - A cos со^ - A cos to21. J
Скорости маятников равны
фа (t) = ^ = - (c)! A sin (о^ - (о2 Л sin м2t,
* Л ф
фь(/) = = - (r)iA sino)1^-[-o)2/4 sino)2E
Чтобы понять, как возбудить обе моды, чтобы получить биения, описываемые
выражениями (91), рассмотрим начальные условия в момент времени t=0. В
соответствии с формулами (91) и (92) начальные смещения и скорости
маятников равны
Фа (0) =2/4, фь (0) = 0; фа (0) = 0, фь(0) = 0.
Сместим маятник а в положение 2Л, а маятник b будем удерживать в нулевой
точке, затем отпустим одновременно оба маятника и примем этот момент за
начало отсчета времени ^=0. Наблюдая за маятниками, мы увидим красивое
явление биений. (Обязательно сделайте этот опыт. Две банки консервов
могут служить грузами М, а вместо "пружины" можно взять резиновый жгут.
См. домашний опыт 1.8.) Амплитуда колебаний маятника а уменьшается, а
амплитуда колебаний маятника b возрастает. В конце концов маятник а
остановится, а маятник b будет иметь амплитуду и энергию колебаний,
равные тем, с которыми начинал колебания маятник а. (Мы пренебрегаем
трением.) При этом энергия колебаний полностью переходит от одного
маятника к другому. Описанный процесс будет повторяться, и энергия
колебаний будет медленно переходить от b к а и обратно. Один полный
оборот энергии от а к b и опять к а представляет собой биение. Период
биений - время, за которое совершается этот оборот. Обратная величина
представляет собой частоту биений.
(92)
47
Все эти результаты можно получить из выражений (91) и (92). Имея ввиду,
что в (91) со1=(оср+(омод исо2=соср-(омод, получим "почти гармонические"
колебания
(t) = A cos (шср + юмод) t + A cos (соср-сомод) t =
= (2A cos сомод t) cos (оср t = Лмод (0 cos сосрА (93)
(0 = Л C0S ("ср + "мод) t - A COS (?0ср - ?Омод) t =
= (2Л sin юмод0 sin юср* = Вмод (0 sin шсрА (94)
Найдем выражение для полной энергии (кинетическая плюс потенциальная)
каждого маятника. Будем считать амплитуду ЛМод(0 практически постоянной в
течение одного цикла "быстрых" колебаний и пренебрежем энергией,
передаваемой пружиной маятнику. (Если пружина очень слабая, в ней никогда
