Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи и домашние опыты
7.1. Докажите равенство (34) из п. 7.2. Оно служит основой представления
волн в волноводе как суперпозиции "наклонных бегущих волн". Равенство
показывает также, что трехмерные бегущие гармонические волны образуют
"полный набор" функций для описания трехмерных волн. Конечно, трехмерные
стоячие волны также образуют "полный набор".
7.2. а) Покажите, что для стекла с показателем преломления /г=1,52
критический угол полного внутреннего отражения равен 41,2°.
б) Чему равен критический угол полного внутреннего отражения для воды
с показателем преломления 1,33? Будет ли водяная призма, имеющая форму
равнобедренного треугольника (см. рис. 7.3), менять направление светового
луча на обратное без потерь (имеется в виду преломление в воздух)?
Вначале предположите, что вода непосредственно соприкасается с воздухом,
т. е. преломление луча света происходит на границе вода- воздух. Затем
рассмотрите случай, когда грани призмы, заполненной водой, образованы
предметными стеклами микроскопа.
7.3. Опыт. Водяная призма обратного хода. Сделайте водяную призму с
помощью предметных стекол микроскопа, замазки или ленты скотча. Направьте
луч света от фонаря на поверхность воды в призме и проверьте результаты,
полученные в задаче 7.2.6. ¦
7.4. Покажите, что стеклянная призма обратного хода (рис. 7.3) посылает
луч света назад в направлении, противоположном падающему лучу, не только
при нормальном падении.
7.5. Вычислите среднюю глубину проникновения (т. е. величину 6=к-1)
видимого света с длиной волны 5500 А в стеклянной призме обратного хода
(рис. 7.3). (Мы имеем в виду проникновение в направлении, нормальном к
задней поверхности стекло - воздух.) Считайте, что пучок падает нормально
к поверхности, как показано на рисунке. Показатель преломления стекла
равен 1,52.
Ответ. 6=2,2- 10-5 см.
7.6. Свет в вакууме. Для света нли микроволн в волноводе мы нашли, что
если частота меньше граничной, то г-направление (вдоль волновода)
"реактивно". Два других направления не будут реактивны. Возможно ли, в
принципе, с помощью некоторых ухищрений сконструировать "волновод общего
типа", в котором волны будут реактивны во всех трех направлениях х, у иг?
7.7. Волоконная оптика. Луч света можно "пустить" по волноводам,
сделанным из стеклянных волокон. Луч света остается в волокне, если
падает на поверхность
*) Амбар, сарай - на английском языке barn.
342
стекло - воздух под углом, большим критического. Если диаметр волокна
очень мал, то волокно становится волноводом, в котором частота света
меньше граничной. Предположим, что волокно имеет прямоугольное сеченне.
Оцените минимальную длину одной стороны прямоугольника, при которой
волокно будет дисперсивной средой, т. е. по нему будут распространяться
бегущие волны видимого света.
Ответ. Длина стороны >1,7-10~5 см для Я=5000 А.
7.8. Критический угол при отражении от ионосферы. Пусть слева от
плоскости г=0 (рис. 7.4) находится вакуум, а справа - плазма. Мы, таким
образом, имеем идеализированную модель однородной ионосферы с резкой
границей. Покажите, что для каждого угла падения 0Х имеется граничная
частота югр, зависящая от 01 (т. е. найдите зависимость югр от 0J, и при
нормальном падении эта частота равна частоте колебаний плазмы елр.
Покажите, Что для любой частоты со, большей частоты колебаний плазмы а>р,
существует критический угол полного отражения; при углах, больших
критического, волны в ионосфере экспоненциальны. В качестве примера
возьмите частоту колебаний плазмы v^=25 Мгц н найдите критический угол
для микроволн с частотой v = 100 Мгц.
Ответ. Для фиксированного 01, (Drp=fflJ5/cos Oj. Для фиксированной
частоты и, большей (Dp, cos 0гр=ир/ю.
7.9. Опыт. Каким видят надводный мир рыбы? Этот опыт можно сделать либо в
тихом пруду, либо в плавательном бассейне. В бассейне вы должны быть
одним из первых, чтобы иметь гладкую поверхность воды. Наденьте маску для
подводного плавания, нырните, перевернитесь на спину и посмотрите вверх.
Попытайтесь предсказать, что вы увидите.
7.10. Зависимость фазовой скорости волн в воде от глубины. Предположим,
что вы наполнили водой прямоугольный аквариум (или выкрашенную изнутри
картонную коробку, или что-либо подобное) длниой (по х) 25 см и
возбуждаете самую низкую синусоидальную моду (рис. 7.5).
а) Чему равна фазовая скорость (в см/сек) волн в глубокой воде?
(Напомним, что фазовую скорость можно определить и для стоячих волн.)
б) Постройте график зависимости фазовой скорости (в см/сек) от глубины
воды h (в см) для данной моды и данного аквариума, используя точное
дисперсионное соотношение (72) из п.7.3 для волн малой амплитуды.
Покажите на графике "глубоководный предел". На том же графике постройте
зависимость фазовой скорости от глубины для волн в мелкой воде, рисуя эту
зависимость так, как если бы она была справедлива для всех h, независимо
от длины волны. В результате ваш точный график покажет "переход" между
фазовыми скоростями для волн в глубокой и мелкой воде.
