Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
заменой бесконечно малой площади dA полной площадью 4яг2. Однако в
выражение для dP входит sin2 0 (О и мы должны при интегрировании учесть
изменение sin2 0 (t') на сфере. Таким образом, имеем
P(t)
(t') sin20 (Г),
(138)
где
t' = t -
sin2О (Г)-
dA
^ s^ 9(0 W
(139)
Рис. 7. 10. Сферические полярные координаты. Бесконечно малая площадь dA
в конце радиуса-вектора г, ориентированная перпендикулярно ?, равна r2dф
sin 0 dQ.
Для вычисления этого интеграла введем сферические полярные координаты
(рис. 7.10). Бесконечно малая площадь dA представляет собой площадь
маленького прямоугольника со сторонами rdQ и г sin 0 dtp. Таким образом,
имеем
dA
г2 :
(rdQ) (г sin 0 Лр)
: dQ sin Odcp.
(140)
Легко показать (см. задачу 7.39), что
sin26(f) = ^-.
(141)
Приведем короткий вывод этого равенства. Вектор г имеет компоненту г cos
0 вдоль полярной оси. При усреднении г2 по всем направлениям 0(г
неизменно) мы должны получить такой же результат, что и при усреднении х2
и у2. Но для каждой точки на сфере х2 Д* у2 + г2= г2.
335
Поэтому
г2 = г2 = х2 + у2 + г2 = х2 + у2 -(- г2 = 3z2 = 3r2 cos2 0,
тогда
cos2 0 = -j = 4 , sin2 0=1 -cos2 0=1--1 = |. (Ч142)
Знаменитая формула для излучаемой мощности. Вычислив sin2 0(0,
подставимполученноезначение в уравнение (138). Получим
Р(0 = |-^-а2(О,
С
(143)
В соответствии с уравнением (143) излучаемая мощность, проходящая через
поверхность сферы радиуса г1 в момент tu имеет то же значение, что и
мощность, проходящая через поверхность сферы радиуса г2 в момент t2,
который соответствует тому же "раннему" времени f, что и в первом случае.
Это означает, что справедлив закон сохранения энергии и что энергия
переносится со скоростью света. Полученный результат является следствием
того, что излучаемое поле обратно пропорционально первой степени г.
Поэтому падающий на поверхность поток энергии |S| обратно пропорционален
г2. Однако энергия распределяется по поверхности сферы, пропорциональной
г2. Эги два множителя, г~2 и г2, сокращаются, и мы получаем, что полный
поток энергии в единицу времени через поверхность сферы постоянен и не
зависит от радиуса сферы при условии, что распространение вдоль радиуса
происходит со скоростью света.
Излучение и поле в "ближней зоне". Оказывается, что точное решение для
временной зависимости электрического и магнитного полей движущегося
заряда наряду с полями "излучения", пропорциональными г~1, содержит поля,
изменяющиеся пропорционально г~2 и г*3. На достаточно малых расстояниях
последние преобладают. Иногда их называют полями "ближней зоны". Если мы
находимся в "ближней зоне" радиоантенны или атома, то пренебречь этими
полями нельзя. На достаточно больших расстояниях г они становятся
пренебрежимо малыми по сравнению с полем, пропорциональным г-1, т. е. на
достаточно больших расстояниях они не дают вклада в поток энергии. Однако
в "ближней зоне" их вклад в вектор потока энергии S(r, t) существен.
Вклад в S, создаваемый полями "ближней зоны", дает поток энергии, который
часть времени распространяется от источника, а часть времени -• к
источнику, т. е. примерно так же, как в стоячей волне. Таким образом,
колеблющийся точечный заряд образует не чистую сферическую бегущую волну,
а комбинацию как бегущих, так и стоячих волн, причем стоячие волны
преобладают на малых расстояниях, а бегущие - на больших. На детектор,
находящийся на большом расстоянии, будут действовать только бегущие
волны, в то время как на близко
336
расположенный детектор действуют как стоячие, так и бегущие волны.
Определение телесного угла. Пусть dA - бесконечно малая площадка,
расположенная в точке наблюдения г и ориентированная перпендикулярно г.
Дифференциал телесного угла dQ, под которым площадка dA видна из начала
координат, равен
dQ = ^. (144)
Телесный угол измеряется в безразмерных единицах, называемых стерадианами
(стер). Рассмотрим сферу радиуса г с центром в начале координат.
Поверхность этой сферы состоит из очень большого числа очень малых
площадок dA, каждая из которых ориентирована перпендикулярно радиусу-
вектору, проведенному из начала координат. Поэтому каждому элементу
поверхности сферы соответствует свой телесный угол. Полный телесный угол,
стягиваемый сферой, определяется как сумма (интеграл) всех элементарных
телесных углов, стягиваемых всеми элементами поверхности сферы, т. е.
Q = ^ dQ = J ^ = 4я стер. (145)
Приведем другой вывод равенства (145). В соответствии с (140)
дифференциал телесного угла dQ в сферических полярных координатах равен
dQ~dq>s'mQdQ (146)
при положительных dtp и d0 или
dQ=d<pd(cos6) (147)
при положительных dq> и d(cos 0). Угол <р изменяется от Одо 2я, а угол 0
- от нуля до я. Соответственно пределы изменения cos 8 равны -1 и +1.
Полный телесный угол, стягиваемый любой замкнутой поверхностью,
окружающей начало координат, равен
2л +1
Q = ^ dQ = ^ dtp ^ d (cos 8) = (2я) • 2 = 4я стер. (148) о -1
Мощность, излучаемая в бесконечно малом телесном угле dQ. Мы можем
