Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
будем иметь дело с нашими первоначальными координатами, даже после того,
как найдем моды, потому что физический смысл этих координат может быть
более понятен.
Мы нашли нормальные координаты нашей задачи фх и ф2. Теперь вернемся к
старым координатам и фй. Решая уравнения (66) и (67), находим
2Фа = Ai cos (<V + <Pi) + А2 cos ("V +Фа). (68)
2фй = A1 cos (<V + <Pi) - cos (o)2t + <p2).
(69)
Заметим, что если движение соответствует моде 1, тоЛ2=0 и из уравнений
(68) и (69) следует, что 'фй='фа. Аналогично для моды 2 имеем Лi=0 и фй=-
фа. К этим же результатам мы пришли и раньше [см. уравнения (60) и (61)].
Пр и м е р 9. Поперечные колебания двух связанных масс. Система показана
на рис. 1.11. Предположим, что колебания происходят в плоскости листа
бумаги. У системы две степени свободы.
а)
М М
ПГПТШТ"ПГШТ>Т1"ЛПП|ТТШ
Тц Ъ т0
ФХ
\h
'.Мода 1 ¦
г)
bi
'Мода 2
Рис. 1.11. Поперечные колебания. а) Равновесие; б) общий случай движения;
в) мода с меиьшей частотой; г) мода с большей
частотой.
Три невесомые одинаковые пружины имеют начальную длину (в нерастянутом
состоянии) а0, которая меньше, чем длина а, соответствующая положению
равновесия масс. Когда система находится в состоянии равновесия (рис.
1.11, а), натяжение пружин равно Т0.
Симметрия системы позволяет легко догадаться о ее модах. Они показаны на
рис. 1.11. Более низкая мода (мода с меньшей частотой, т. е. с меньшей
величиной возвращающей силы на единицу
39
смещения и на единицу массы, для каждой из масс) имеет такую форму (рис.
1.11, в), при которой центральная пружина не меняет своей длины. В этом
случае частоту можно определить, рассмотрев поведение одной из масс, если
помнить, что возвращающая сила образуется только той пружиной, которая
прикреплена к стене. Покажем, что как для приближения "пружины"
(идеальной пружины с исчезающе малой начальной длиной), так и для
приближения малых колебаний (т. е. когда смещение массы мало по сравнению
с а) смещение ф0 левой массы приводит к появлению возвращающей силы
Г0(фо/а) со стороны левой пружины. Поэтому для моды 1 возвращающая сила,
приходящаяся на единицу массы и на единицу смещения, равна:
Покажем, почему это так. Начнем с приближения "пружины" (п. 1.2). В этом
приближении натяжение Т больше Т" в На раз, где I - длина пружины и а -
длина пружины в положении равновесия (рис. 1.11, а). Растяжение пружины
приводит к появлению поперечной возвращающей силы, равной натяжению Т,
умноженному на синус угла между осью наклонной пружины и осью пружины,
находящейся в положении равновесия, т. е. возвращающая сила равна
Г(ф0/7). Но Т=Т0(1/а). Таким образом, возвращающая сила T=T0(tya/a), что
и дает уравнение (70).
Теперь рассмотрим приближение малых колебаний (п. 1.2). В этом случае
можно пренебречь увеличением длины пружины, так как она отличается от
длины а в равновесном положении лишь на величину порядка а(фа/а)2; по
этой же причине пренебрегаем и увеличением натяжения. Таким образом,
смещению ф0 соответствует натяжение Та. Возвращающая сила равна натяжению
Т0, умноженному на синус угла между осью пружины при смещении и осью
пружины в положении равновесия. При малых колебаниях угол (в рад) и синус
угла почти равны и определяются величиной ф,,/а. Таким образом,
возвращающая сила равна Г0(фа/а). Такой же результат дает уравнение (70).
Рассуждая подобным образом, можно получить частоту для моды 2 (рис. 1.11,
г). Рассмотрим левую массу. Как было показано только что, левая пружина
действует на массу с силой TJMa. В случае моды 2 на массу будет
действовать еще сила со стороны центральной пружины. Эта поперечная сила
будет в два раза больше, чем сила со стороны левой пружины, так как при
одном и том же натяжении Т0 угол, составленный центральной пружиной с
осью равновесия, в два раза больше. Полная возвращающая сила,
приходящаяся на единицу смещения и единицу массы, будет равна:
Заметим, что в приближении "пружины", когда натяжение Т0=К(а-а0) можно
считать равным Т9=Ка, частоты мод попереч-
(70)
мода 2: со
37*0 \рь Ма 1 г|)0
(71)
40
ных колебаний [уравнения (70) и (71)] совпадают с частотами мод
продольных колебаний [уравнения (60) и (61)]. Таким образом, мы имеем
случай вырождения. Оно не возникает при рассмотрении малых колебаний,
если не пренебрегать а0 по сравнению с а.
Если бы моды нельзя было так легко угадать, следовало бы
и иметь дело
/*
С'
L Z
м, Г ¦ §г к.
"ч, и ¦ -йГ
С
написать уравнения движения двух масс "а" и с этими уравнениями, а не с
соображениями, основанными на визуальном рассмотрении физической системы.
(См. задачу 1.20.)
Пример' 10. Две связанные LC-цепочки. Рассмотрим систему, показанную на
рис. 1.12. Найдем уравнения "движения", в данном случае движения зарядов.
Электродвижущая сила (э. д. с.) на левой индуктивности равна L dljdt.
Положительный заряд Qx на левой емкости образует э. д. с. C_1Qi, которая
стремится увеличить 1а (при нашем выборе знаков).
Положительный заряд Q2 на средней емкости образует э. д. с. C_1Q2,
