Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 155

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 263 >> Следующая

общее решение (для данной частоты) и как частный случай будет включать
стоячие волны.
Бегущая гармоническая волна. Пусть Ех определяется уравнением
Ех = A cos (at - kz). (87)
Используя уравнения (85) и соотношение со = ck, имеем
дВ" 1 дЕх со " дЕх /от
= (88)
Ж'=~''T = _lскА sln(u>( - fe)*=-y- (89)
В соответствии с уравнениями (88) и (89) величина Ву зависит
от г и t, так же, как и величина Ех. Таким образом, в
бегущей
И Ф. Крауфорд
321
гармонической плоской волне, распространяющейся в направлении +2,
компоненты поля В у и Ех равны с точностью до констант, которые мы
положили равными нулю.
Для гармонической бегущей волны, распространяющейся в направлении -г, В у
равно -Ех, что легко можно получить, заменив k на-k в приведенных выше
уравнениях. Напишем уравнения, справедливые для обоих направлений
распространения бегущей волны:
Стоячая гармоническая волна. Предположим, что составляющая Ех равна
Из уравнений (91) и (92) следует, что в электромагнитной стоячей плоской
волне в вакууме Е и В перпендикулярны друг другу и z, имеют одинаковую
амплитуду и сдвинуты на 90° по фазе как в пространстве, так и во времени.
(Аналогично ведут себя давление и скорость в стоячей звуковой волне или
поперечное натяжение и скорость для стоячей волны в струне.)
Поток энергии в плоской волне. Плотность энергии электромагнитного поля в
вакууме равна
(Это выражение дано в томе II, стр. 116 и 258, для статических полей, но
можно показать, что оно справедливо в общем случае.) Нас интересует
энергия любой линейной суперпозиции бегущих и стоячих плоских волн. В
частности, нас интересует поток энергии. Найдем выражение для энергии в
бесконечно малом элементе объема с площадью А, перпендикулярной оси г, и
бесконечно малой толщиной Лг вдоль этой оси. (Затем мы найдем, как
меняется эта энергия со временем.) Энергия W (z, t) в элементе объема
равна плотности энергии, умноженной на объем A Az:
|Е(г, 0| = | В (г, 01, Е.В = 0,
Ё X В = V.
(90)
Ех (г, 0 = A cos со^ cos kz.
(91)
Покажите (задача 7.36), что в этом случае
Ву (г, 0 = A sin со/ sin kz = ЕХ ^z--Я, /-(92)
W(?2 + B2)-
(93)
(94)
Дифференцируя W (z, /) по времени, получим
(95)
322
Чтобы исключить dEx/dt и dBy/dt, используем уравнения Мак* свелла (85):
dW (z, t) АсАг(р дВу в дЕх\^ АсЕгд(ЕхВу) dt 4л~ \ * ~дг + У ~дг )= 4я Тг
^ Ас Аг |" (ExBy)z + Дг (ЕхВу)г ~ 4п L Дг J'
Последнее преобразование в уравнении (96) эквивалентно вычислению частной
производной произведения ЕХВУ по г (для фиксированного времени), и мы
находим, что скорость изменения энергии в объеме А Аг равна
Т d-^WJ1 = ТД (2> t)By(z,t)-^Ex(z + Az,t) By (г + Аг, t) =
= S,(z, 0-S,(z + Az, t), (97)
где
5г (г, t)^^Ex (г, 0 В, (г, *) = JL (Е X В),. (98)
Таким образом, скорость изменения энергии в элементе объема А Аг равна
значению ЛЗДг, /), вычисленному в точке г, минус значение этой величины в
точке г +Аг. Поэтому величина S Z(z, t) должна соответствовать
мгновенному значению потока энергии через единичную площадь в направлении
+г. Увеличение энергии в элементе объема определяется разностью величин
втекающего (слева) и вытекающего (справа) потоков; г-компонента 52(г, t)
вектора потока S определяется как поток энергии в направлении +г через
единичную площадь (в эрг-см~2-сек~1) с координатами г, t. (В нашей задаче
это единственное направление потока энергии, так как ось г совпадает с
направлением распространения волны.)
Вектор Пойнтинга. В общем случае вектор потока энергии имеет
вид
(99)
Он не зависит от выбора координат. Вектор потока энергии называется
вектором Пойнтинга.
Плотность энергии и ее поток в бегущей волне. Для линейно-поляризованной
бегущей волны, распространяющейся в направлении +2, можно положить Е =
х?жи В = уВ,,,причем BV = EX для всех г, t. Таким образом, мы имеем (Е
измерено в ед. СГСЭуДш)
Ex = E0cos(tot- kz), By = E0cos (tot-kz), (100) Плотность энергии = ~(El-
\r Bl) =-^-E% cos2 (at-kz), (101)
Поток энергии = S2=-^-ExBy = -^- El cos* (tot-kz). (102) 11" ' 323
• Заметим, что поток энергии S г (в эрг-см~г-сек~1) для бегущей волны
равен плотности энергии (в эрг/см3), умноженной на скорость света (в
cujсек).
Средний во времени поток энергии (при фиксированном г) равен среднему в
пространстве потоку энергии (при фиксированном /). Обе эти величины не
зависят ни от г, ни от / и получаются из уравнения (102) заменой cos2
(со/ - kz) средним значением 1/2.
Плотность энергии и ее поток в стоячей волне.Для стоячей волны имеем
Ех = Д0 cos со/cos/гг, Ву = Е0 sin со/ sin kz. (ЮЗ)
Максимумы для плотности электрической энергии и плотности магнитной
энергии сдвинуты во времени на 1ji периода и в пространстве на 74 длины
волны. Покажите сами (задача 7.36), что в любой области длиной 1/1Я
полная энергия постоянна. Энергия электрического поля совершает
гармонические колебания относительно среднего значения с частотой 2с",
достигая предельных значений - нуля и двойного среднего значения. То же
происходит с энергией магнитного поля. Таким образом, энергия колеблется
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed