Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
длиной волны. Возвращающая сила F х> действующая на объем воды, равна
площади L Ау, умноженной на разность давлений в точках х и х + Ах.
Разность давлений определяется произведением pg (плотность воды на
ускорение силы тя-
316
жести) на разность высот в точках х и х + Ах, т. е. на разность
'фгДх+Лг)-фу(х). Эта разность равна произведению производной д^у/дх на
равновесное значение Ах. Окончательно имеем
Fx = -L А у [р (х + Ах) - р (х)] = -L А у р g [ф" (х + Ах) - фу (х)] =
"•Чу!
= L Ay Ах pg = - (AM)g
(70
где АН ~ р L А у А х - масса элемента. Сила Fx создает ускорение,
направленное по оси х. Его величина равна d2i[x/Oi2, и так как движение
гармоническое, то дм}1 J3F -= - с,)2ф. Второй закол Ньютона для массы AM
во и в оыьеме
/\
(АМ)
Ol~
даег, е:лч госпспьзэвэться втгле1 -ем (Тд) дтя /\,
Г 0lU' j _
I Ji=o
¦[-I ], = n- (71)
Теперь, используя игр^
(Ш).
= (А,л4" и'
дх i/=о рассматриваемого
\р(хМх)-ф(х1
Рис 7 6 ГТПВ -'Т'^ЦИОНН Я B03BPOL PL ТСТТаВДС э с * > р 1л ате теша обье
ia ^
В ij.C'ICHUdH 4dCib объ <3 ИСПЫЫГ СГ СИ "У, г г псрцисм 7ЬН}Ю Р ЗЬО ТИ Л
ПСН1- р х-\х )-р{ Этз ра iiiCui ь гр~>!Ог'исм ть i з ап в j.
ды Дд.)-
U
из уравнении (63) и (64), нолуч:
(72)
Выражение (72) и есть искомое дисперсионное соотношение. Из пего ле~ко
получить дисперсионное соотношение и соответсгвующ е фазовые скорости для
гравитационных волн в глубокой и мелкой воде:
Волны в глубокой воде: co2 = .g7?, нф = |/?-К, (73)
Волны в мелкой воде: сo2 = gk(h/K), v$ = \ gh. (74)
Таким образом, гравитационные волны в мелкой воде не диспергируют.
Глубинные гравитационные волны имеют дисперсию: фаз^ вая скорость
удваивается, если дтина волны возрастает в четырс-раза.
Волны поверхностного натяжения. При выводе дисперсионного соотношения
(72) мы пренебрегли возвращающей силой, возникающей от поверхностного
натяжения. Для данного элемента соответствующий вклад в возвращающую силу
пропорционален произведению коэффициента поверхностного натяжения Т на
кривизну поверхности. Последняя пропорциональна k2. Поэтому вклад от сил
поверхностного натяжения пропорционален TkF, Гравитационный вклад
SJ7
пропорционален весу Mg, т. е. pg. Таким образом, следует предположить,
что относительный вклад в со2 сил поверхностного натяжения и сил тяжести
определяется безразмерным отношением Tkypg. Это предположение
справедливо. (См. задачу 7.33.)
Бегущие волны в воде. Покажите сами (задача 7.31), что бегущие волны в
воде описываются уравнениями
Из этих уравнений сразу следует, что у бегущих волн в глубокой воде
данная частица воды движется по кругу в плоскости ху, смещаясь вперед,
когда она на гребне волны, и назад, когда она находится во впадине. В
общем случае любой глубины h частицы воды движутся по эллипсу. Движение
по эллипсу аналогично круговому движению в глубокой воде, с той лишь
разницей, что между поверхностью и дном сосуда (озера, океана) происходит
постепенное "сплющивание) окружности.
Все это справедливо, если можно пренебречь трением о дно. В противном
случае воде будет легче продвигаться вперед на гребнях, чем смещаться
назад во впадинах. В результате будет происходить перенос воды, и в этом
случае волны "ломаются". Действительно, около берега можно наблюдать, как
на волнах образуются буруны, которые опрокидываются вперед по ходу волны.
Именно поэтому в сильное волнение (в случае больших длин волн) пловец
должен держаться вдали от каменистого берега, в противном случае волна
может с большой скоростью выбросить его на берег.
7.4. Электромагнитные волны
В этом пункте мы используем уравнения Максвелла, чтобы дать общее
описание явлений, с которыми мы познакомились при рассмотрении передающей
линии из плоскопараллельных пластин. Таким образом, мы подготовимся к
лучшему пониманию поведения электромагнитных волн в трехмерном
пространстве.
Уравнение Максвелла для вакуума. Эти уравнения имеют вид (см. том II,
стр. 264)
Классическое уравнение для электромагнитных волн в вакууме. Мы получим
дифференциальное уравнение в частных производных
= A cos (со/ - kx) (eky-е~гкНе~ку), = A sin (со/-kx) (eky -\-e~2k!le~ky).
(75)
(76)
(77а)
(776)
(77в)
(77г)
V-E = 0. . .V-B = 0.
318
для Е, исключая В из уравнений (77). Сначала продифференцируем
уравнение (77а) по времени, а затем используем уравнение (776).
Получим
§ = cvXB,
^=cf(vXB) =
= <vX§=
= cv x (-CV XE) =
= -c2V X(V XE). (77д)
Можно показать, что для любого вектора С [см. П. 4, уравнение (39)]
VX(VXC) = V(V*C) - (V-V)C. (78)
Подставляя Е в уравнение (78) и помня, что V- Е=0 [уравнение (77в)],
получаем из уравнения (77д)
-= с^Е (х, у, г, t). (79а)
Это векторное уравнение состоит из трех отдельных дифференци-
альных уравнений в частных производных:
д-Е д2Е д*Е
Ttт = с^Ех- ^1 = с^Еу; -щ? = <?ГЕг. (796)
Итак, составляющие электрического поля Ех, Еу и Еz в отдельности
удовлетворяют классическому волновому уравнению для недиспергирующих волн
[см. уравнение (18), п. 7.2]. Исключив Е из уравнений Максвелла, мы
