Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
больше единицы, что имеет место, например, для видимого света в стекле
или воде). Такой угол называется критическим углом падения. В
соответствии с уравнением (44) критический угол падения определяется из
условия
п sin I
= 1.
(45)
(Для стекла с показателем преломления п=1,52 получим 0кр = = 41,2°.) При
критическом угле падения преломившийся пучох света касателен поверхности
стекла.
Закон Снеллиуса. Для углов 0 между нулем и 0кр пучок свегд частично
отражается и частично преломляется и проходит в вакуум. В этом случае
существует угол 02 (рис. 7.4) и соотношение k2y = kx,, эквивалентно
закону Снеллиуса (в п. 4.3 мы ввели его другим способом) :
со
*2 у
: A, sin
¦ Sin I
= ki sin 0X = "! - sin
Положив
izy-kxy, получим
n1 sin 0j = n2sin 02.
(46)
Полное внутреннее отражение. Для углов падения, больших критических,
дисперсионное соотношение получается заменой в уравнении (44) k\z на --
к^г= - к2:
[м2 sin2 0t - 1 ],
(47)
где
nsin 0Х > 1.
В этом случае волновая функция (электрическое или магнитное поле) в среде
2 является бегущей волной в направлении у, но экспоненциальной в
направлении г.
ф (у, z, t) = A cos (со^ - kyy)e~KZ, (48)
где % определяется уравнением (47), a ky равно &isin 0 = п (ы/с)
=-•
= sin 01. Средняя во времени плотность энергии пропорциональна
среднему во времени квадрату ф(у, z, t):
Плотность энергии xe~2KZ. (49)
310
В качестве приложения уравнения (47) рассмотрим призму (см. рис. 7.3),
меняющую направление пучка на обратное. На боковых гранях призмы свет
падает на границу стекло - воздух под углом 0i =45°. Этот угол превышает
критический угол 0^= 41,2° (для стекла п = 1,52). Поэтому луч света
полностью отразится. Для поля, проникающего в вакуум (оно уменьшается по
экспоненте), найдем
т. е. на расстоянии нескольких длин волн поле в вакууме станет
пренебрежимо малым.
Наглядную демонстрацию полного внутреннего отражения можно получить,
плавая с маской под водой. Если вы будете смотреть из воды вперед на
границу вода - воздух, то увидите, что она блестит, как жидкая ртуть. Это
происходит потому, что угол, под которым вы смотрите, превышает
критический.
Проникновение света через барьер. Если вакуум не простирается до
бесконечности, а ограничен второй пластиной из стекла, то в уравнение
(48) нужно добавить второй член с положительной экспонентой ехр (+хг).
Таким образом, мы имеем здесь дело с типичной задачей проникновения через
барьер.
Красивый и остроумный опыт, доказывающий экспоненциальное уменьшение
плотности энергии, был выполнен студентом-диплом-ником Куном из Принстона
*). Хотя этот опыт относится к области квантовой механики, он
подтверждает результаты классической оптики. Это один из многих
результатов классической оптики, которые сохраняются и в квантовой
механике. Кун установил две призмы с воздушным зазором между ними так,
что свет (зеленая линия ртути) падал через одну призму на границу стекло
- воздух под углом, большим критического. Энергия света, переносимая
через воздушный зазор ко второй призме, пропорциональна плотности энергии
на поверхности второй призмы. Из квантовой механики мы знаем, что свет
частоты со переносится неделимыми частицами-фотонами и энергия каждого
фотона равна %со. Таким образом, для данной частоты со энергия
пропорциональна числу фотонов. Кун измерил плотность энергии, подсчитывая
число испущенных фотонов в зависимости от толщины воздушного зазора, и
подтвердил предсказанную экспоненциальную зависимость (49).
Качественная демонстрация проникновения через барьер и быстрого
уменьшения поля в световой волне с удалением от стекла в вакуум легко
осуществима с помощью стеклянной призмы или куба. Рассмотрим некоторую
точку поверхности (через стекло) под углом, дающим полное отражение для
линии вашего взгляда. Поднесите палец и расположите его над точкой на
некотором расстоянии. Палец будет невидим, так как лежит в запрещенной
области,
б = к~1 = [^sin2(c)!-!]-*/• =
X Г (1,52)2 il-1/2
2я 2
[•
*) D. D. Coon, Am. J. Phys. 34, 240 (1966).
311
Теперь прикоснитесь пальцем к поверхности. Вы увидите отпечаток пальца.
Выпуклости кожи на пальце, соприкасаясь с полностью отражающей
поверхностью стекла, нарушают полное отражение. Впадины кожи не касаются
стекла и не нарушают полного отражения. Это выглядит, как серебряные
завитки, разделяющие гребни. Глубина этих впадин имеет порядок нескольких
длин волн, т. е. порядок глубины проникновения б=и~1. Если глубина
впади", меньше S, поле будет в заметной степени проникать через "барьег
между стеклом и кожей, и полное внутреннее отражение будш нарушено. Этот
опыт можно выполнить с прозрачным, наполне. -ным водой прямоугольным
сосудом вместо куба или призмы.
7.3. Водны в воде
Водяные волны наблюдать нетрудно. В детстве мы следили за ними в ванне, в
пруду, озере или море, наслаждаясь их красотой и сложностью. Теперь мы
сможем получить интеллектуальное ш-слажлонне, поняв их природу. Это
понимание требует упрощении. Поэтому пренебрежем некоторыми свойствами
