Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
фазовой и групповой скоростями. Обратимся лишь к одной из двух бегущих
волн из уравнения (34), как это показано на рис.
7.2. Рассмотрим небольшой участок волнового фронта, распространяющегося
по диагонали через волновод на расстояние ct за время t. На рис. 7.2 этот
волновой фронт перпендикулярен направлению, обозначенному "луч кх". Нас
интересуют фазовая и групповая скорости в направлен ии г. (Мы знаем, что
только в этом направлении существует бегущая волна. Составляющая к2
приведет к уничтожению бегущей волны вдоль у, но внесет тот же вклад, что
и к1( в направление г.) В то время как луч пробегает расстояние ct,
пересечение волнового фронта с любым фиксированным значением у (например,
у=Ь) переносится на расстояние, обозначенное v§t. Это дает нам фазовую
скорость вдоль г, которая равна скорости, с которой распространяется
вдоль г гребень волны. Заметим, что, когда в (см. рис. 7.2) становится
равным 90°, фазовая скорость устремляется к бесконечности. Имеем
Групповая скорость определяет скорость переноса энергии в направлении г.
Если мы "нанесем метку" на волну, то она будет
Рис. 7.2. Одна из бегущих волн в волноводе.
307
распространяться с групповой скоростью. Луч, обозначенный кь будет
переносить импульс со скоростью с по диагонали волновода. Волна с
вектором к2 дает импульс, у-я часть которого уничтожится с у-й частью
волны с Еектором kj. "Метки" волн кг и к2 пройдут за время t расстояние,
показанное на рис. 7.2. Таким образом, мы имеем
yrp = ccos0. (36 j
Мы могли бы показать, используя дисперсионное соотношение, что выражения
для Уф и Угр, определяемые формулами (35) и (36), справедливы. Вместо
этого решим обратную задачу, т. е. выведем дисперсионное соотношение из
равенств (35) и (36):
со с 17 " cosO '
d'j) п
% =d77 = CCOS Перемножая Уф и уг , получим
d 77 d ( !tzj
Интегрирование дает
о) do) , ...
u>ijt'rp171*7 = с ' ^
= с2, т. е. d (со2) = с2 d {}¦
со2 = сгк\ - const. (38:
Константу можно определить, положив /е г = 0 (при этом со = соср и
потребовав, чтобы время пробега волной расстояния "туда и обратно" (от
одной боковой полосы до другой и обратно) Тср равнялось 2b/с. Таким
образом, мы получим дисперсионное соотношение (26). Более высокие моды (т
= 2, 3, ...) мы получим, полагая граничною частоту гармоникой самой
низкой граничной частоты (/гг = = 1):
^ = c2k2z + c-d^L. (39;
Пример 2. Отражение и прохождение света, падающего из стекла в воздух.
Это еще один пример двухмерной волны. Предположим, что пространство от г
= --оодог = 0 заполнено стеклом. При г = 0 стекло кончается, и начинается
вакуум (или воздух), который простирается до г= + оо. Можно было бы
думать, что вакууя всегда будет вести себя как не реактивная, т. е.
дчсперсивная, среда. Однако в примере 1 (прямоугольный волновод) было
показано, что, когда у пас нет плоских волн (Ех изменялось вдоль оси у и
вдоль оси распространения г), волновод при некоторых условиях становится
реактивным (либо он слишком узок, либо, что то же самое, частота слишком
мала) даже в вакууме. Нечто подобное может происходить при падении света
из стекла в воздух, если угол падения становится слишком большим. Это
имеет большое практическое значение в оптическом приборостроении, где
явление полного внут-
308
реннего отражения позволяет получить 100%-ное отражение света.
Соответствующий пример показан на рис. 7.3.
Рассмотрим подробно, в чем заключается это явление. Волны света
удовлетворяют волновому уравнению как в стекле, так и в вакууме
(рассматриваем одну частоту со). Граница между стек том и вакуумом
находится в плоскости z = 0. Вектор распространения кг падающей волны
имеет компоненты kz вдоль z и ky вдоль у. Таким образом, мы имеем
двухмерную задачу (примерно ту же, что и дтя волновода). Геометрические
условия показаны на рис. 7.4. В стекле
Стеш
пис 7 3 Призма обратного хода, используемая для от-тонения светового
пучка на S SO0 без потери интенсивности
Р тс 7 4 Отражение ч прох <icr ? лугеп, падающих из стекла в возд' х.
ветчина k2 вектора ki равна произведению показатетя прелслпсння п на
отношение со/с, а величина k2 вектора к2 равна отнопечню
(0/С.
kj = п-^~, -(40)
Дисперсионное соотношение для среды 2 (вакуум) имеет вид
-? = *1 = ^ + *Ь. (41)
Покажем, что k2y должно равняться kUj. Мы знаем, что kly равно
произведению 2л на число гребней волны, приходящееся на едпшцу длины
вдоль оси у в среде 1. То же справедливо и для k2l), только в среде 2.
Будем двигаться вдоль оси у в плоскости г -0. Число гребней, мимо которых
мы пройдем, в стекле и в вакууме должно быть одинаковым. Таким образом,
имеем
Ку = Ку = К sin 0( = п д-sin 0i- (42)
Подставляя уравнение (42) в (41), получим
^ = ДД- sin2 0, + к1г, (43)
309
т, е. имеем дисперсионное соотношение
&L = -S-(1- tt2sin2 GJ.
(44)
Критический угол полного внутреннего отражения. При увеличении угла
падения GjZ-я компонента вектора к2 будет уменьшаться. В конце концов мы
достигнем угла падения, при котором kiz равно нулю (предполагаем, что п
