Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
kyb = л,'2я, тп, ... (25)
Такие волны называются ТЕ-модами (поперслпые моды о •д.трпче-скогополя).
Поскольку магнитное поле однозначно связано с э тект-рическим, то
рассматривать его отдельно нет необходп .кхт.
Граничная частота со стороны низких частот. Расс. ггрим наинизшую моду.
Мы получим ее, если в уравнении (25) положим :i = 1. Электрическое поле
для этой моды показано на р с. Г.1. Подставляя уравнение (25) в уравнение
(24), дтя т - 1 имел i
/^2fr2
со (26)
Таким образом, дисперсионное соотношение между со и k2 (для моды, у
которой kvb = л) по внешнему виду аналогично дисперсионному соотношению
для плоских волн, распространяющихся в направлении г в ионосфере:
со2 = сo2-fc2A2, (27)
пли дисперсионному соотношению для связанных маятников (в длинноволновом
пределе):
Поэтому следует ожидать, что величина с2л2/52 определяет нижнюю раничную
частоту (точнее, квадрат этой частоты) и для вынуждающей частоты со,
меньшей этой граничной частоты, дисперсионное соотношение (26) примет вид
= (29)
Это предположение справедливо. Для частоты со Отcjb волновое равнение
(21) имеет решение
гр (у, z, /) - A sin kyy cos со/-e-11-2 (30)
при условии, что со, ky и связаны уравнением
со2 =сЧГу-с2*!, (31)
что равенства (25) удовлетворяются и что со2 меньше с2п2/Ь (для • л = 1),
так что равенство (29) удовлетворяется при положительном у-!- [Заметим,
что в уравнение (30) мы могли бы включить член, пропорциональный exp( +
yz2). Однако граничное условие,
305
заключающееся в том, что волновод простирается до 2 = + оо, обращает в
нуль коэффициенты при этом члене.]
Физическая природа граничной частоты для волновода. Предположим, что
частота фиксирована, а ширина b волновода меняется. Если b бесконечно
велико, то уравнение (26) переходит в дисперсионное соотношение для
плоских электромагнитных волн в вакууме, распространяющихся в направлении
+2. Волнам "кажется", что они распространяются в передающей линии из
плоскопараллельных пластин. Для конечного b величина ky (которая равна
я/Ь) не равна нулю. Таким образом, если рассматривать волновую функцию
как суперпозицию плоских бегущих волн (мы это всегда можем сделать, даже
если имеем чисто стоячую волну), то мы видим, что уменьшение b от
бесконечности до некоторого конечного значения изменяет волну от чисто
бегущей волны, распространяющейся вдоль + z, до суперпозиции с ненулевой
компонентой вектора распространения k4 вдоль у. В действительности мы
должны иметь две бегущие волны, распространяющиеся в направлениях +у и -
у, суперпозиция которых дает стоячую волну вдоль у. Величина к всегда
определяется дисперсионным соотношением для вакуума:
Поэтому, если у-я компонента к увеличилась от нуля до какого-то конечного
значения, то это должно привести к уменьшению 2-й компоненты вектора к.
При дальнейшем уменьшении b компонента по у будет возрастать, а по 2
уменьшаться дальше. Для любого фиксированного b волновая функция может
быть представлена суперпозицией плоских волн, бегущих "крест-накрест"
вдоль волновода и накладывающихся друг на друга так, чтобы удовлетворить
граничному условию на боковых пластинах. (Мы можем сказать, что токи,
генерированные в боковой пластине приходящей волной, создают зеркально
отраженную волну, бегущую в обратном направлении оси у.) При Ь,
достаточно малом, 2-я компонента к станет равной нулю и волны не будут
распространяться вдоль волновода, а будут лишь отражаться туда и обратно
между боковыми пластинами. Периодом Тгр (соответствующим граничной
частоте) будет время, необходимое плоской волне в вакууме, чтобы пройти
расстояние от одной боковой полосы до другой и обратно:
Сравнивая уравнения (33) и (26), мы видим, что уравнение (33)
действительно определяет граничную частоту.
Для частот, меньших граничной частоты, амплитуда волны с возрастанием г
экспоненциально уменьшается, несмотря на то что мы имеем дело с вакуумом.
Физический смысл уменьшения элект-
(32)
Тогда
(огр = 2ямгр
2я 2я сл
(33)
7Тр 2 b/с b
306
рического поля состоит в следующем. Благодаря наличию проводящих боковых
пластин заряды на верхней и нижней пластинах могут стекать, нейтрализуя
друг друга. В области 2=0 внешний источник все время "доставляет" новые
заряды, поддерживая электрическое поле постоянным. С ростом г влияние
вынуждающей силы уменьшается, и при очень малой частоте заряды успевают
нейтрализоваться.
Бегущие "крест-накрест" волны. Смешанная стоячая и бегущая волна,
выражаемая уравнением (23), эквивалентна суперпозиции пересекающихся
плоских волн, бегущих вдоль волновода. Это можно показать (см. задачу
7.1) с помощью равенства
ф = A sin kyy cos (kzz - at) =
= -^ A sin (kx>r-at) - A sin (k2-r - at), (34)
где
k^zkz + yky, k2 = zkz-yky.
Пересечение бегущих волн объясняется тем, что у-компоненты ki и ка имеют
противоположные знаки.
Фазовая скорость, групповая скорость и с. Картина пересекающихся бегущих
волн весьма наглядна, и с ее помощью легко найти соотношения между
