Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
однородной среде вдоль положительного направления оси г. Предположим, что
в плоскости z'=0 волновая функция следующим образом зависит от времени:
ф(0, t) = 7lcoscot. (1)
Тогда в любой плоскости, заданной фиксированным значением г', волновая
функция будет иметь вид
ф(г', t) = A cos (со/ - kz'). (2)
Выразим эту функцию через обычные декартовы координаты х, у, г. Будем
считать, что начало координат совпадает с плоскостью г' =0. Пусть вектор
г = хх + уу + гг определяет положение точки в пространстве относительно
начала координат. Плоскость z' - const в системе координат х, у, г
определяется уравнением z'- r-z' = = const, где г' - единичный вектор,
задающий направление осп г'. Поэтому в уравнении (2) величина kz' может
быть записана следующим образом:
kz' = k (z'-r) = (/ez')-r^ k-r. (3)
Вектор распространения. Величина kz' называется сектором распространения
к:
к = kz'. (4)
Величина вектора к равна /г, а направление совпадает с направлением
распространения волны. Сравнение (б) можно переписать так:
kz' =k-r = кххЩкууЩ kzz. (5)
С физической точки зрения волновое число /г представляет собой число
радиан фазы на единицу смещения вдоль направления распространениях', так
что kz' равно фазе, приобретенной на расстоянии г'. Величина kx
соответствует числу радиан, отнесенному к единице смещения вдоль оси +х,
т. е. вдоль х; аналогичный смысл имеют kv и&2. Предположим, например, что
хсоставляет угол 0 с z' и что длина волны равна X. Если продвинуться
вдоль направления z! на расстояние X, то фаза возрастет на 2л. Если
перемещение
300
происходит вдоль х, то, чтобы г' увеличилось на одну длину волны, мы
должны пройти расстояние X/cos 0. На направлении вдоль х фаза увеличилась
на 2л на участке, большем чем X в (cos О)-1 раз, х. е. можно сказать, что
увеличение фазы, приходящееся на единицу длины вдоль х, меньше чем /г в
cos 0 раз. Таким образом, проекция вектора к на направление х (т. е. kx =
к-х) всегда будет меньше длины вектора в отношении, определяемом
косинусом соответствующего угла.
Почему нет. вектора длины волны? Выясним это на примере. Приведем
кажущееся правдоподобным (однако неверное) рассуждение. Фазовая скорость
бегущей волны равна u,j, = Xv. Мы хотим описать волну, распространяющуюся
в трехмерном пространстве в направлении ъ . Вектор длины волны можно было
бы определить так:
Уф - Xvz' - (Xz') v = Xv.
Длина волны X определяется как расстояние между двумя соседними гребшими
вдоль г'. Эта величина будет определять модуль <вектора" X. Аналогично Хк
соответствует расстоянию между соседними гребнями волны смещения вдоль х.
Однако у вектора X есть следующее "ужасное" свойство: Хх больше, чем X.
Так, если х перпендикулярно z', то величина Хж бесконечно велика, в то
время как в случае обычного вектора составляющая по х должна равняться
нулю. Итак, мы дюжем сказать, что X не может быть вектором, ибо
составляющие вектора ие могут быть больше его величины.
Плоскость постоянной фазы. Бегущая волна, заданная уравнением (2), может
быть записана в следующих эквивалентных формах:
ф (х, у, г, t) - A cos (cot- kz') -
= A cos (u>/-kxx-¦kiy - kzz) -
= A cos (co/ - k*r). (G)
Аргумент синусоидальной волновой функции называется фазой Ф(л-, у, z, I):
ф (х, у, Z, t)--(Ot - kz'-
= lot - kxX - kvy - kzZ =
= iot - k*r. (7)
В фиксированный момент времени t точки пространства, имеющие одинаковые
значения ф, образуют плоскость равной фазы, называемую волновым фронтом:
dcp = iodt- k-dr, \
dcp = 0 - к-dr в данный момент, > (8)
d9 = 0, только если dr перпендикулярно k. J
В заданный момент времени значение фазы будет постоянно во всех точках,
образованных смещением на вектор dr, перпендикулярный
301
направлению распространения к. Для всех этих точек d<.р =0, к их
геометрическое место образует плоскость. Поэтому такие волны называются
плоскими.
Фазовая скорость. Фазовая скорость равна dz'/dt при фиксированном ср:
dq> = со dt-k dz' = 0,
Дисперсионные соотношения для трехмерного случая. Ниже приведены знакомые
вам дисперсионные соотношения, переписанные для трех измерений.
П р имер 1. Электромагнитные волны в вакууме:
со2 = с2?2 = с2 (k% + Щ + Щ). (10)
Пример 2. Электромагнитные волны в диспергирующей среде:
b>2 = ^^ = ^(kl + kl + kt). (11)
П р имер 3. Электромагнитные волны в ионосфере:
ш2 = Шр + с2?2 = <в2-|-с2(^-[-&2 + Щ. (12)
Дисперсионные соотношения не зависят от граничных условий. Однако
граничные условия определяют тип волн, с которыми нам приходится иметь
дело: это могут быть стоячие волны, бегущие волны или (как мы увидим)
волны смешанного типа.
Стоячие волны. Суперпозиция двух бегущих плоских волн, распространяющихся
в противоположных направлениях и имеющих одинаковую амплитуду (и
частоту), дает стоячую волну
ф(л:, у, г, t) - A cos (со/-|- ср) cos (k*r -j- а). (13)
Вспомнив, что kr = kxx -\~kyy + k Zz, п воспользовавшись
тригонометрическими тождествами, мы можем записать выражение (13) в виде
ф(х, у, z, t) =