Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Остальные члены разложения (17) соответствуют звуковым волнам,
регистрируемым микрофоном. Частоты модуляции представляют собой, таким
образом, частоты звуковых волн, лежащие в слышимом диапазоне от 20 до 20
ООО гц. Они малы по сравнению с несущей частотой. Приложенное к антенне
напряжение V (t) будет поэтому почти гармоническим колебанием с частотой
соср:
У(0 = ^ыол(0 С08<Вср/ =
= Л0 cos сос/-I- 2 Л(сомод)соэ [сомод^ + ф(сомод)]созсосрЛ (18)
СО
мод
Это выражение может быть записано как суперпозиция строго гармонических
колебаний'.
у (о=Ао c°s (r)ср^+21 т А ("*¦"*)cos к(r)"*+*+ф +
+ Цт А (""од) cos [(соср - сомод) t-ф(СОмод)]. (19)
Боковые полосы. Таким образом, модулированное по амплитуде напряжение
V(t) является суперпозицией гармонических колебаний, состоящих из
колебания с частотой соср (несущая частота) и многих гармонических
колебаний с частотами соср+сомод (верхняя полоса частот) и соср- сомод
(нижняя полоса частот). Для того чтобы излучаемые бегущие волны
передавали информацию о звуке в области частот от 0 до 20 кгц,
необходимо, чтобы напряжение V (t) было представлено суперпозицией
гармонических компонент с угловыми частотами со в частотном диапазоне от
самой низкой частоты, присутствующей в нижней боковой полосе, до самой
верхней частоты в верхней боковой полосе. Таким образом, излучаемые
частоты занимают диапазон
(r)ср - "мод (макс) < со < соср + сомод (макс), (20)
т. е.
vcp - '''"од (макс)< v < vcp + vM(W (макс). (21)
Ширина полосы частот. Шириной полосы частот называется разность между
максимальной и минимальной частотами:
Полоса частота Av = v (макс) - v (мин) = 2vMOfl(макс). (22)
Таким образом, для передачи несущей и двух боковых полос, занимающих весь
звуковой частотный диапазон, необходима ширина полосы вдвое большая, чем
20 кгц, т. е. 40 кгц. (Коммерческим радиостанциям, работающим с
амплитудной модуляцией, предоставляется диапазон частот шириной 10 кгц.
Этого диапазона вполне
253
хватает для передачи речи и музыки. Вспомним, что частота самой высокой
ноты рояля близка к 4,2 кгц.)
"Музыка" распространяется с групповой скоростью. Вынуждающая сила V (t),
представленная выражениями (18) или (19), приводит к испусканию
электромагнитных бегущих волн, которые можно считать суперпозицией
гармонических компонент, занимающих полосу частот Лео. В центре полосы
находится частота соср. Эти волны могут быть также представлены как почти
гармоническая бегущая волна, имеющая частоту "быстрых" колебаний соср,
равную несущей частоте, и "почти постоянную" медленно меняющуюся
амплитуду Лмод(г, t), представляющую собой суперпозицию членов типа (8).
[В примере, к которому относится выражение (8), присутствуют только два
гармонических колебания и верхняя боковая полоса состоит всего лишь из
одной частоты со1 = соср-Ьсомод, а нижняя боковая полоса - также из
единственной частоты со2 = = соср-со"од.] Модуляция распространяется в
среде (воздух, ионосфера, ...) с определенной скоростью. В случае
радиостанции с амплитудной модуляцией, работающей, например, на несущей
частоте 1000 кгц и с шириной полосы 10 кгц, частотный диапазон
простирается от 995 до 1005 кгц. Так как ширина этой полосы частот мала
по сравнению с несущей частотой (средней частотой), то можно пренебречь
членами высокого порядка в разложении в ряд Тейлора [уравнение (15)1. В
этом случае групповая скорость, определяемая уравнением (16), будет равна
скорости распространения модулированных колебаний.
Частотная и фазовая модуляции и другие близкие проблемы рассмотрены в
задачах 6.27-6.32. (Существует еще один важный вид модуляции-импульсно-
кодовая модуляция*).)
Рассмотрим несколько физических примеров групповой скорости. В случае
бегущих электромагнитных волн мы не ограничимся частотами радиостанций с
AM (v ~ 10е гц), а рассмотрим также видимый свет (v~ 1015 гц), микроволны
(~ 1010 гц) и другие частоты.
Пример 2. Электромагнитное излучение в вакууме. Дисперсионное соотношение
в этом случае имеет вид
со - ck. (23)
Фазовая и групповая скорости равны
Co d(o / о Л \
иФ = ~k=C' °гр =Tk = C' (24)
Таким образом, для электромагнитного излучения в вакууме фазовая и
групповая скорости равны скорости света с.
Пример 3. Другие недиспергирующие волны. Волны света в вакууме не
испытывают дисперсии: их фазовая скорость не зависит от частоты (или
волнового числа). В таких случаях групповая
*) J. S. May о, Pulse-Code Modulation, Scientific American, p. 102 (March
1968). См. также A. A. X a p к e в и ч, Теоретические основы радиосвязи,
Гостехиздат., 1957, стр. 56.
254
скорость равна фазовой скорости. В общем случае имеем
ю = 0*й,
(25)
(26)
Если производная dv^/dk равна нулю, то групповая скорость равна фазовой.
Другими примерами недиспергирующих волн могут служить слышимые звуковые
волны, для которых справедливо соотношение
а так же поперечные волны в непрерывной струне, у которых соотношение
между со и k имеет вид
Пример 4. Электромагнитные волны в ионосфере *). Для синусоидальной волны
