Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
п. 1.5. Наш вопрос сводится
249
к нахождению скорости распространения максимума модулированной волны [т.
е. точки, где Лмод (2, t)=2A\. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим
уравнение (8). Очевидно, что для постоянства амплитуды Лмод(г, t),
например, для сохранения ее максимального значения, необходимо, чтобы
аргумент сомоД- /гмод2 оставался постоянным. Таким образом, изменение в
этом аргументе, вызываемое приращениями dt и dz, должно равняться нулю,
т. е.
(r)мод dt kM0/ldz=zQ. (11)
Это условие удовлетворяется, если скорость перемещения модулированного
колебания равна
dz ^мод____(Oi - (О2
Si ~~ Умод = '
(12)
Теперь вспомним, что со и k связаны дисперсионным соотношением
со = со(&). (13)
Это соотношение однозначно определяет со, если выбрано k, т. е.
cOi = co(?i). со2 = со(&2). (14)
Поэтому скорость распространения модуляции, определяемая уравнением (12),
может быть представлена [с помощью разложения со (k) в ряд Тейлора
в точке k=kср] в таком виде:
СО 1) СО (fe2) _ dco , /1СЧ
мод -
где производные берутся в точке /г=/еср. '
Групповая скорость. Для большинства интересующих нас случаев сох и со2 в
уравнении (12) отличаются ненамного. Поэтому в выражении (15) для
скорости мы можем пренебречь всеми членами, кроме первого. Величина
du>/dk, вычисленная для некоторого среднего k, называется групповой
скоростью-.
Т-. UMJ
1 рупповая скорость = vrV = .
(16)
Таким образом, скорость распространения "сигнала", образованного
максимальной амплитудой (т. е. гребнем волны), равна не фазовой скорости
пср=соср/&ср, а групповой скорости vrp=d(a/dk.
На рис. 6.1 показано распространение бегущей волны ф(г, t), определяемой
выражениями (7) или (6). Эта волна имеет следующие параметры:
(оср=8(омод, и групповая скорость dm/dk (оцененная для средней частоты)
равна половине фазовой скорости (оср/&ср.
Приведем менее длинный вывод для скорости распространения модуляции.
Разность фаз волн 1 и 2, входящих в суперпозицию
250
Рис. 6.1. Групповая скорость.
Стрелками показаны места биений, распространяющихся с групповой скоростью
г>гр. Черными кружками показаны отдельные волновые гребни, которые
распространяются со средней фазовой скоростью оСр.
(6), равна
Фх (2, t) - ф2 (z, t) = (a>tt-klz + 4j - ((i>it-k2z + 4t)=z
= (cOi-co2) t - (k1-kt)z + (q>!-<p,).
При некоторых значениях фх (z, t) и ф2 (2, t) обе волны находятся в фазе
и их интерференция дает максимум, при других значениях Фх (z, t) и ф2 (z,
t) волны будут в противофазе и амплитуда модулированного колебания будет
равна нулю. Очевидно, что если мы будем двигаться со скоростью, при
которой разность фаз фх (z, t) - -ф2 (z, t) остается постоянной, то эта
скорость и будет скоростью распространения модулированного колебания, т.
е. групповой скоростью. Поэтому, приравняв нулю полный дифференциал
приведенного выше выражения, получим
(сох-со2) dt-(k1-k2) dz = 0.
Определяемая из этого выражения скорость dz/dt совпадает с уравнением
(12).
Пример 1. Радиоволны с амплитудной модуляцией (AM-радиоволны). Рассмотрим
простой пример бегущей волны, которую можно считать либо почти
гармонической амплитудно-модулиро-ванной бегущей волной с медленно
изменяющейся амплитудой Амод (2, t) и большой несущей частотой соср, либо
суперпозицией двух гармонических бегущих волн с двумя различными
частотами "ц и со2. Амплитуда модуляции /1М0Д (z, t) может считаться
"почти постоянной" в пределах одного периода колебаний высокой частоты.
Величина Амод (2, t) изменяется синусоидально во времени (для заданного
z) с частотой модуляции соМОд и синусоидально в пространстве (для
фиксированного t), имея модуляционное волновое число ймод. Мы нашли, что
суперпозиция двух гармонических бегущих волн эквивалентна амплитудно-
модулированной бегущей волне с частотой модуляции <амод. Мы могли бы
начать с рассмотрения бегущей волны, определяемой выражением (2), и
пришли бы к выводу, что она состоит из суперпозиции двух гармонических
колебаний.
Чтобы описать амплитудно-модулированные колебания, посылаемые
радиопередатчиком, следует учесть, что здесь мы имеем дело не с
единственной частотой модуляции, а с целым диапазоном таких частот. Ток в
антенне представляет собой почти гармоническое колебание со средней
частотой соср, которая, как уже отмечалось, называется несущей частотой.
(У широковещательных радиостанций с AM каждой станции соответствует своя
несущая частота, лежащая в диапазоне от 500 до 1600 кгц.) Амплитуда
напряжения на выходных зажимах передатчика не постоянна. Она является
амплитудой модуляции, которая может быть выражена с помощью ряда
4.ад(0 = Д>+ 2 А ((r)мод) cos [(r)мод^ + ф ((r)мод)] • (1?)
(О
мод
252
Величина Лмод(/) - А0 пропорциональна давлению в звуковой волне и
представляет собой передаваемую информацию. (Микрофон преобразует
мгновенные значения звукового давления воздуха в электрическое
напряжение.) Величина Л0 дает некоторый вклад в выражение (17), который
существует постоянно, независимо от того, говорят ли в микрофон.
