Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
пруду, где при некотором навыке можно наб • людать прохождение отдельных
гребней через группу.
247
6.2. Групповая скорость
В главе 4 мы рассмотрели несколько примеров, из которых следует, что
скорость распространения информации или энергии в бегущей волне не
обязательно совпадает с фазовой скоростью синусоидальной бегущей волны.
Например, было показано, что фазовая скорость света в ионосфере больше
скорости света с. Однако если бы сигналы распространялись со скоростями
большими, чем с, то теория относительности была бы неверна.
Передача информации q помощью модуляции. Гармоническое колебание
определенной частоты и амплитуды не может нести информацию о сигнале,
поскольку каждый последующий цикл колебаний является точной копией
предыдущего. Чтобы передать определенную информацию с такой волной, ее
нужно промодули-ровать, т. е. изменить какой-то параметр волны в
соответствии с изменением смыслового сигнала. В бегущей волне такими
изменяемыми параметрами могут быть амплитуда, частота и фаза.
Соответственно различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию.
Чтобы понять, как распространяется сигнал, рассмотрим бегущую волну,
которая образуется передатчиком, расположенным в точке 2=0. Смещение на
выходе передатчика не будет больше иметь простую гармоническую форму D
(t)=A cos at, а определяется более сложной временной зависимостью
D(t)=f(t). Оказывается, что широкий класс функций f(t) может быть
представлен линейной суперпозицией функций вида А (со) cos [соН-ф (со)],
где амплитуда А (со) и фаза ф (со) зависят от частоты. Несколько позже мы
увидим, как определить А (со) и ф(со) с помощью фурье-анализа. Сперва
рассмотрим простой случай, когда смещение f(t) представляет собой сумму
всего лишь двух колебаний. Мы получим при этом ряд интересных
результатов, которые в конце концов позволят понять, как происходит
распространение волновой группы или импульса в диспергирующей среде (т.
е. в среде, где фазовая скорость зависит от длины волны).
Амплитудно-модулированное колебание как сумма двух гармонических
колебаний. Предположим, что в точке 2=0 передатчик воздействует на
струну, простирающуюся от г=0 до +оо. Пусть колебания генератора являются
суперпозицией двух гармонических колебаний с угловыми частотами % и со2.
Не нарушая общности результата, можно считать, что амплитуды и фазы этих
колебаний равны. Итак, смещение на выходе передатчика имеет вид
D(t) = A cos соф A Cos co2t. (1)
Мы знаем из рассмотрения биений [см. п. 1.5, уравнения (1.80) - (1.85)],
что такая суперпозиция может быть записана в виде ампли-тудно-
модулированного колебания:
D{t) = AMM{t)cos(oZft, (2)
где
A.oA(0 = 2Acoscomoa(0 (3)
248
и
Юмм = 7*(Ю1 -'(r)ср = 7.((r)1 + (r).)- (4)
Если (Hi и ?02 мало отличаются друг от друга, то частота модуляции ?0МОД
мала по сравнению со средней частотой ?оср. В этом случае уравнение (2)
соответствует почти гармоническому колебанию с частотой ?оср и почти
постоянной амплитудой.
Выражения (2) и (3) дают пример простейшей амплитудной модуляции, в
которой участвует единственная частота модуляции ?омод. В общем случае
амплитудно-модулированное колебание может быть представлено выражением
(2), в котором /1М0Д (t) является суперпозицией большого числа членов,
подобных выражению
(3), каждый из которых имеет собственную частоту модуляции, амплитуду и
фазу. Например, в случае амплитудной модуляции радиоволн за vcp можно
взять 1000 кгц (частоту vcp часто называют "несущей" частотой).
Модуляционные частоты для передачи звука должны лежать в слышимом
звуковом диапазоне, т. е. от 20 гц до 20 кгц.
Суперпозиция двух синусоидальных бегущих волн образует ампли-тудно-
модулированную бегущую волну. Рассмотрим бегущие волны, испускаемые
передатчиком. Пусть временная зависимость "смещения" на выходе
передатчика определяется выражением (1) или равносильным ему выражением
(2). Среда, в которую испускаются волны, связана с передатчиком так, что
при 2=0 ф (2, t) равно
ф(0, t) =D (t) = A cosfOj^-j- A cosw2t. (5)
Таким образом, на выходе передатчика генерируются две бегущие волны и для
любого 2 в направлении распространения этих волн результирующую волну
можно представить как их суперпозицию, т. е. справедливо выражение
ф (2, t) = A COS (?0j/ - kxZ) -f A COS (?02^ - k2z). (6)
Выражение (6) получается из (5) заменой wit на ((aj-ktz) и u>2t на ((n2t-
k2z). Производя такую замену в выражениях (2), (3) и
(4), мы получим выражение для почти синусоидальной амплитудно-
модулированной бегущей волны:
ф(2, 0 = ЛМОД(2, f)cos(fiecpf-kcvz), (7)
где
ЛМОд (z, 0 = 2А cos (<W-*-оДг) (8)
и
(r)мод = 1/2((r)1 (r)г)> ^мод = 1А(^1 ^г)> (9)
шСр = 7. ((r)i+ (r)"), АСР = 7" (*! + *")¦ (10)
Скорость распространения модуляции. Постараемся ответить на вопрос: с
какой скоростью распространяется модуляция? Предположим, что ?омод мало
по сравнению с ?оср. В этом случае на выходе передатчика (г=0)
амплитудно-модулированные колебания имеют форму, показанную на рис. 1.13,
