Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
выражение принимает вид
! |П,_ (l-flls)2
l-2R\2zos2k2L+R\2 '
в) Покажите, что при некоторых значениях k2L средний во времени поток
неотраженной энергии равен единице, т. е. для этих значений вся энергия
проходит без отражения. Обозначим одно из этих резонансных значений k2
через k0. Покажите, что резонансные значения k2L равны kaL~n, 2л, Зл и т.
д.
г) Покажите, что для k2, достаточно близкого к резонансному значению k0,
средний во времени поток энергии равен
(1-tfL)2
1-1 R
(1-ЯУа + Я?2[25 (k2~k0)f
Покажите, что это выражение соответствует резонансной кривой Брейта -
Вигнера, рассмотренной в п.3.2, и имеет полную ширину по Дй2 на
половинном уровне . . пропущенной интенсивности, равную
yslUtt)
' Сп>РУна (КЪ,, " 0-я?.)
1)= (Л&г) L---------------Г~ >
?3 Z ^ 1 ^12 I
С
при условии, что ( R12 | намного меньше еди-ij ницы. (Покажите, что
для | R12 | <^1 прибли-
!'h-Толкающий стержень жение Брейта - Вигнера бесполезно, так как
" оно не выполняется, за исключением значений
k, очень близких к fee, т. е. оно не выполняется даже для точек,
определяемых по половине максимальной пропущенной мощности.) По-Рис. к
задаче 5.29. кажите, что для | R12 | когда резонанс-
ная кривая Брейта - Вигнера справедлива для многих k, отличных от б,,,
полная резонансная ширина равна
(Ak2) L т 2(1 - | R121).
5.29. Полубесконечная струна присоединена к выходным зажимам передатчика
через пружину, как показано на рисунке. Натяжение пружины равно Т,
плотность струны р и коэффициент жесткости пружины К¦ Длина пружины
такова, что если смещение возмущающего стержня D{t) равно нулю и пружина
расслаб-
244
леиа, то ф(0, I) равно нулю. Движение стержня определяется выражением
D(t)=A cos at. Предположим, что по струне бежит гармоническая волна ф(г,
t)=B cos (at-fcr-f-ф). Укажите граничные условия в точке г=0 и
используйте их для нахождения В/А и ф. (Совет. Выкладки упростятся при
использовании комплексных чисел.)
Ответ, tg ф=-со(Тр)'/г//С, В/А= [l+(co2T'p/K2)]~1/a=cos ф. Заметим, что
для очень большого К имеем ф(0, t)=D(t), как и следовало ожидать. Почему?
5.30. Предположим, что точка а струны, имеющая координату га= 10 см,
совершает гармоническое колебание с частотой 10 гц и амплитудой 1 см.
Фаза колебаний такова, что в момент времени t=0 точка проходит положение
равновесия со скоростью, направленной вверх (положительное смещение
отсчитывается вверх).
а) Чему равна величина и какое направление имеет скорость в точке а в
момент ^=0,05 сек? Параметры струны (масса на единицу длины и натяжение)
таковы, что скорость волны равна 100 см/сек.
б) Чему равна длина бегущей волны? Чему равна длина стоячей волны?
в) Другая точка 6 с координатой гг>=15 см колеблется с той же амплитудой,
что и точка а, но сдвинута относительно нее по фазе на 180°. Можете ли вы
сказать, какую из трех волн мы имеем: "чистую" бегущую волну, "чистую"
стоячую волну или же их комбинацию?
г) Третья точка с (z<,= 12,5см) колеблется с той же амплитудой, что и
точка с координатой za=10 см, но со сдвигом по фазе в 180°. Точка
колеблется по-прежнему. Теперь скажите, является ли волна бегущей,
стоячей или комбинацией этих волн.
5.31. Опыт. Резонансы в надувных шарах. Возьмите шар, наполненный гелием.
Поднесите его к уху и легко ударьте. Спойте какую-либо ноту с одной
стороны шара и слушайте резонансные тона. Надуйте другой шар воздухом до
того же диаметра (что и шар с гелием) и ударьте его. Оцените отношение
частот для самых низких мод (это те моды, которые вы слышите после удара)
при наполнении шаров гелием и воздухом. Какое отношение частот вы могли
бы предсказать? Сравните силу (громкость) резонанса, который имеет место,
когда вы поете рядом с шаром с гелием и рядом с воздушным шаром. Как
объяснить такое различие?
5.32. Нагрузка для волн в струне.
а) Допустим, у нас есть невесомый амортизатор с двумя движущимися
элементами 1 и 2, способными смещаться относительно друг друга вдоль
направления х, перпендикулярного направлению струны г. Трение создается
жидкостью, которая тормозит движующиеся элементы. Это трение таково, что
сила, необходимая для поддержания постоянной относительной скорости (хг-
дг2) движущихся элементов, равна Z& (*!-*2), где - импеданс поршня. Вход
(элемент 1) подсоединен к концу струны с импедансом Zj, простирающейся от
г=-со до z=0. Выход (элемент 2) подсоединен к струне с импедансом Z2,
простирающейся до г=+со. Покажите, что волна, падающая слева, "чувствует"
импеданс в г=0 такой же, как если бы она была подсоединена к струне,
простирающейся от г=0 до г=+со,с импедансом Zr, равным
ZrfZ2 1 1,1
4= 7 , у' > т. е. .
Таким образом, этот импеданс соответствует параллельному соединению
импедансов поршня н второй струны.
б) Покажите, что если струна Z2 простирается только до г-1/^, ГДе - длина
волны в среде 2 (предполагаем, что имеем дело с гармонической волной), и
если в z=1/4^2 <>на нагружена на поршень с нулевым импедансом, то
падающая волна имеет в г=0 согласованную нагрузку.
