Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение "не красная и не синяя" означает, что для этой полосы, как для
красного, так и для синего цвета, происходит деструктивная интерференция.
5.24. Интерференция в тонких пленках. Покажите, что при отражении
монохроматического света (нормальное падение) от слоя воздуха толщиной L,
находя-
242
щегося между двумя предметными стеклами микроскопа, интенсивность
отраженного света в приближении слабого отражения равна
4/?f2 sin2 k2L.
1 о
(Интерференцией от двух внешних поверхностей обоих стекол можно
пренебречь. Интерференционные полосы от этих поверхностей будут размыты
для любого источника, за исключением, конечно, очень монохроматичного
источника. Об этом мы говорили в опыте 5.10 "Полосы Фабри - Перо в
оконном стекле".)
5.25. Полосы Фабри - Перо в 1-миллиметровой стеклянной пластине.
Покажите, что для того, чтобы с помощью стеклянной пластины толщиной в 1
мм получить интерференционные полосы Фабри - Перо, "ширина линии" (т. е.
полоса частот) должна быть меньше, чем 3 см~*•. При этом условии полосы
не будут размываться.
5.26. Многократное отражение. В приведенных ниже выкладках следует
использовать комплексные числа. Пусть фпад равно вещественной части
выражения Лехр [i(<r>i - kz)\, где А - вещественное число. Таким образом,
фпад- =А cos (cot-kz). При z=0 импеданс изменяется скачком от Zx до Z2.
При z=L импеданс опять меняется от Z2 до Z3. Имеем R12 = (Z1-Z2)/(Z1+Z3)=
=-Л!21,^23=(^2-Z3)/(Z2+ZS). Предположим, что в среде 1 имеется отраженная
волна, определяемая вещественной частью RA ехр [/(cof+fez)], где R -
комплексная величина, которую можно представить в виде #=|#| ехр (-(б).
а) Покажите, что если пренебречь всеми вкладами, кроме отражения от z=0 и
первого отражения от z=L, то
R = R12 -f- Tl2R2ST21e~2lk2L,
где Tl2=l+i?12 и 7'2l= l-hi?2i= 1-Я22.
б) При помощи суммирования бесконечного ряда, определяемого бесконечным
числом отражений, покажите, что точное решение для R имеет вид
R = R | О-#") #2зе~2^
12 l-RsaRtle-tlk*L '
где первый член R12 обусловлен разрывом непрерывности в г=0, а второй
член определяется отражением (однократным или многократным) от границы
z=L. Покажите, что в приближении слабого отражения из этой формулы
получается результат а). Покажите, что точный результат может быть
записан в виде
1 + Ri2R23e~^L
Покажите, что это точное выражение для R стремится к выражению,
полученному Для R в приближении слабого отражения, использованном в п.
5.5. Таким образом, приближенное выражение правильно определяет нули
интенсивности и не совсем точно - интенсивность в максимуме.
5.27. Метод граничных условий для коэффициентов отражения и прохождения.
Рассмотрим совершенно другое решение задачи 5.26. Вместо суммирования
бесконечного числа многократно отраженных лучей сделаем следующее
допущение: каждый "луч" из суперпозиции многократно отраженных лучей
непрерывен. Поэтому сама суперпозиция также непрерывна. Это предположение
является основой метода. Таким образом, мы больше не станем заниматься
суммированием многократных отражений. Вместо этого мы записываем функцию
ф(г, i) в трех областях:
1 (г<0), 2 (0< z< L) и 3 (z>L) - и считаем, что эта функция определяется
вещественной частью следующих выражений:
ijjj (г, /) = e'<cuf-A,z>-}-#e /""*+*,*>, ф2 (z, t) = Fel{mt~k^-\-
Bei^+fl^!ri, ф3 (г, =
ГДе R, F, В и Т - комплексные коэффициенты, которые нужно определить.
Коэффициент R характеризует отраженную волну, F - волну,
распространяющуюся
243
вперед, и В - назад, а коэффициент Т - прошедшую в третью среду волну.
(Для простоты амплитуду падающей волны мы полагаем равной единице).
Заметим, что член с комплексной амплитудой F соответствует суперпозиции
всех многократно отраженных лучей между г=0 и z=L, которые идут в момент
времени t в прямом направлении. Аналогично, член с комплексной амплитудой
В равен суперпозиции всех лучей, идущих в обратном направлении. На двух
границах г=0 и z=L следует использовать граничные условия непрерывности.
Положим, что ф(г, t) и ch|;(z, t)ldz непрерывны на границах. (Это значит,
что натяжение струны постоянно, или, в случае звуковых волн, произведение
равновесного давления р0 на у постоянно, или постоянна магнитная
проницаемость р, в случае электромагнитных волн.) Два эти граничных
условия для двух границ дадут четыре линейных уравнения относительно
четырех комплексных величин Т, F, В и R. Этих уравнений достаточно, чтобы
однозначно определить Т, F, В и R. Подтвердите это. Найдите Т, F, В и R.
Покажите, что выражение для R, полученное этим способом, аналогично
выражению, полученному способом многократного отражения в задаче 5.26.
5.28. Резонанс для проходящих волн.
а) Покажите, что при отражении на двух границах (задачи 5.26 и 5.27)
часть среднего во времени потока энергии, которая не отразилась, равна
j п2 р2 I п2 г)2
j 1 ^ J2 __ * - ^12 - А23-ГА12А23
1 -f- 2R12R23 C0S 2&3?"Ь^12^23
б) Покажите, что если импеданс среды 3 равен импедансу среды 1, это
