Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
- Z2)/(Z1-\-Zt), если ф(г, t) соответствует волне смещения или скорости,
R--R12, если <р(г, t) соответствует волне возвращающей силы. Для среды 2
существует своя волновая функция ср2 (z, t), которая описывает бегущую
волну, распространяющуюся в направлении +г:
где Т - коэффициент прохождения для амплитуды. Из условия непрерывности
<р(г, t) на границе в 2=0 следует:
где R равно R12 для ф и dty/dt и равно -R12 для волны возвращающей силы -
Т дгр/dz. (Заметим, что мы использовали Т для обозначения натяжения
струны и коэффициента прохождения. В примерах, не связанных со струной,
это не может вызывать недоразумения.)
Величина R лежит между -1 и +1, поэтому Т заключено в интервале значений
от нуля до +2. Таким образом, коэффициент прохождения всегда положителен.
Рассмотрим несколько интересных предельных случаев.
Случай 1. Полное согласование импедансов. Если Za=Z1,
4>1(z, t) - y0cos>(at- ktz) -1- P<p0cos (at -ffejz), (29)
Ф2(г, t) = ГфоСОэ (at-k2z),
(30)
т. e.
Ф2(0, 0=ф1(0, t),
Тф0 cos at - ф0 (1 R) cos at,
T = l + R,
(31)
70 отражения на границе не возникает и Ri2=0. Коэффициент
221
прохождения равен единице. Заметим, что равенство Z2=ZX вовсе не означает
идентичности сред. Например, у второй струны плотность и натяжение могут
быть не равны плотности и натяжению первой, но произведения этих величин
для обеих сред (струн) могут быть равны. В этом случае будут равны и
импедансы, так как ZX=V7,pj и Z2=]/rT2р2* Однако фазовые скорости в этих
средах v1 = \rT и и2 = VT2j[)2 будут различны.
Случай 2. Бесконечное сопротивление. Если Z2/Zi равно бесконечности, то
R12=-1. Точка 2=0 неподвижна. Коэффициент отражения для смещения и
скорости равен-1. Поэтому суперпозиция падающей и отраженной волн
смещения и скорости в точке 2=0 дает нулевые смещение и скорость. В
данном случае положительный импульс в падающей волне становится
отрицательным импульсом после отражения. Коэффициент отражения для волны
поперечной силы равен +1. Таким образом, сила, действующая на струну в
точке 2=0, имеет то же направление, что и в случае полного согласования,
но она в два раза больше, чем в этом случае. Избыточная сила идет на
образование отраженной волны с амплитудой, равной по величине и
противоположной по знаку амплитуде падающей волны.
Случай 3. Случай нулевого сопротивления. Если Z2/Z1 равно нулю, то конец
струны в точке 2=0 называется свободным концом. Наклон струны в этой
точке всегда равен нулю. Коэффициент отражения для возвращающей силы
равен-1. Поэтому приходящий положительный импульс волны возвращающей силы
после отражения становится отрицательным. Коэффициент отражения для
скорости и смещения равен +1. Поэтому в точке 2=0 струна имеет в два раза
большую скорость, чем в том случае, когда импедансы согласованы.
Предельные случаи, соответствующие Z2/Zi=oo и Z2/Zi=0, иллюстрируются
рис. 5.3 и 5.4.
Форма синусоидальной волны в общем случае. Если в среде 1 присутствуют
падающая и отраженная волны, то мы можем написать
яр (г, ^) = Лсоз(аЦ - kz) -J- RA cos (at -\-kz), (32)
где R - коэффициент отражения, значения которого лежат между -1 и +1. При
R -0 мы имеем случай полного согласования. При этом яр (г, /) - это
"чистая" бегущая волна, т. е. волна, распространяющая только в
направлении +2. Когда R=-4, яр(2, t) соответствует "чистой" стоячей
волне, т. е. волне с постоянными узлами (нулями). Узел будет также и в
точке 2=0.
Когда 7? = + 1, яр (2, t) также соответствует "чистой" стоячей волне с
постоянным "антиузлом" (максимумом) в точке 2=0, т. е. в этом случае
первый постоянный узел будет расположен на расстоянии 1/4 длины волны от
2=0. В случае, когда R не равно ни нулю, ни ±1, яр (2, t) не будет ни
"чистой" стоячей волной, ни "чистой" бегущей волной. Таким образом, в
наиболее общем случае синусоидальная волна (данной частоты со) может быть
представлена
222
либо как суперпозиция стоячих волн, либо как суперпозиция бегущих волн,
либо как некоторая комбинация тех и других волн. Поэтому любую
синусоидальную волну можно представить в виде
i|:(z, t) = A cos (со^ -|-а) sin kz-\- В cos (cat + |3)cos&z. (33)
Это уравнение является суперпозицией двух стоячих волн, узлы которых
смещены на четверть длины волны и которые имеют разные
z=o
Зф
TFz
дф
ТЕ
дф_
dz
а)
S)
Рис. 5.3. Отражение приходящего импульса иа аакреплениом конце струны. а)
До отражения; б) после отражения. В точке 2=0 струна присоединена к
струне с бесконечной плотностью. Вертикальными стрелками показана
скорость струны в данных точках. Точка между двумя стрелками
соответствует нулевой скорости dty/dt.
dt
dz
z~0
и-1-1"
-um.d
Зф
dt
дф
dz
Рис. 5.4. Отражение импульса от свободного конца. а) До отражения; б)
после отражения. В точке z=0 струна присоединена к струне с пренебрежимо
малой плотностью.
амплитуды и начальные фазы. Та же волна ф (z, t) может быть записана в
таком виде:
ф(г, t) = Ccos(wt-?z + y)-|-Dcos(tD?-|-&z-|-8). (34)
Эта запись представляет собой суперпозицию двух бегущих в разных
