Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Величина R12 называется коэффициентом отражения для смещения ф:
(21)
Поскольку отраженная волна синусоидальная, то смещение в любой точке 2<0
определится заменой 2=0 и t на 2 и t+z/vф, где Уф - величина фазовой
скорости:
z
Ф
Фотр(г> И = ^12 A cos 0) {t + - jj = Rn A cos (at + kz). (22)
Полное смещение ф (г, t) равно суперпозиции
Ф(2- 0=Фпад(2. *)+Фотр(2> *), ф (2, /) = A cos (со/-kz) + R12 A cos (оit
+ kz).
т. е.
(23)
Возвращающая сила и смещение отражаются с противоположными знаками. В
случае поперечных колебаний струны физический интерес может представлять
не только смещение ф(г, t), но и поперечная скорость дф(г, t)jdt, а также
поперечная составляющая натяжения-TBdty(z, t)/dz, которая определяет
возвращающую силу в струне. Из уравнений (19) и (20) следует, что волна
скорости дф (г, t)/dt имеет тот же коэффициент отражения, что и волна
смещения ф(г, t). Однако "волна возвращающей силы" -Tedty(z, t)jdz имеет
коэффициент отражения, равный по величине коэффициенту отражения для
волны скорости дф(г, t)/dt, но обратный по знаку. Имеем
Ф"ад=ЛС03((c)* - kz), фотр
^Фпад . . , ,
-(r)А Sin (СО^ - kz),
^Фпад и Л ¦ / i t \
~^- = kA sin (at-kz), -
Rl2 A cos (со/ + kz),
(24)
"IT2 =Ru [-(r)A sin (at + kz)], (25)
OTp
-R12 [kA sin(w^-ffe)].
(26)
Из уравнения (25) следует, что в точке 2=0 скорость отраженной волны
равна произведению Ri2 на скорость проходящей волны, а из
219
уравнения (26) видно, что в точке 2=0 возвращающая сила в отраженной
волне равна произведению -Я12 на возвращающую силу в проходящей волне. Из
уравнений (24), (25) и (26) следует, что для коэффициента отражения для
ф, dty/dt и <9ф/дг справедливы соотношения
R*=Rwat = R" = j?^, (27)
Rdty/dz - Rlz- (28)
Заметим, что Я12 лежит между -1 и +1.
Отражение на границе двух дисперсивных сред. Предположим, что струна
простирается от - оо до 0 и имеет импеданс Zx; в точке 2=0 она
подсоединена к струне с импедансом Z2, которая простирается от 0 до оо.
Очевидно, что точка L слева от 2=0 "не знает", является ли точка Я справа
от 2=0 началом новой струны (линии) с импедансом Z2 или же это "вход"
амортизатора (т. е. его поршень) с импедансом Z2. Поэтому коэффициенты
отражения (27) и (28) будут также определять и отраженную волну в среде
1. (Среда 1 - это струна с импедансом Zb а среда 2 - струна с импедансом
Z2.) Заметим, что /?21=-ЯХ2. Поэтому, если свойства сред взаимно
изменятся, то коэффициент отражения изменит знак. Например, коэффициент
отражения для волны смещения. Яф отрицателен, если волна падает со
стороны легкой струны на тяжелую (натяжение струн считается одинаковым),
и положителен при обратном направлении распространения.
Проходящая волна на границе двух дисперсивных сред. В точке 2=0
происходит отражение волны, приходящей из среды 1. Поскольку импедансы Zx
и Z2 не равны, то наряду с отраженной обратно в среду 1 волной должна
существовать волна, прошедшая в среду 2. В связи с этим точку 2=0,
которая совершает колебания под действием силы, обусловленной падающей и
отраженной волнами в среде 1, можно считать источником, испускающим
бегущие волны в среду 2 (в направлении +г). Нас будет интересовать волна
смещения ф2, волна поперечной скорости dty2jdt и волна возвращающей силы-
Т2д^2/дг, которые прошли во вторую среду и распространяются в ней. Чтобы
найти эти волны, рассмотрим граничные условия.
Граничные условия и непрерывность. Для рассматриваемого случая граничные
условия таковы, что смещение слева от границы раздела равно смещению
справа от границы. Иными словами, смещение ф(г, t) непрерывно. Непрерывны
также скорость дф (z, t)/dt и возвращающая сила-T0dty(z, t)jdt. В то
время как непрерывность скорости и смещения на границе очевидна,
непрерывность возвращающей силы требует некоторых замечаний. (Например,
можно думать, что непрерывным должен быть наклон струны дф(г, t)/dz, а не
произведение наклона на натяжение. Однако если на границе изменено
натяжение, т. е. натяжение второй струны отлично от натяжения первой, то
на границе может образоваться "изгиб",
220
В этом случае наклон не будет непрерывен, а произведение наклона на
натяжение будет непрерывной функцией.) Чтобы убедиться в непрерывности
возвращающей силы, рассмотрим бесконечно малый элемент массы в точке 2=0.
На этот элемент массы слева и справа действуют поперечные силы-Т^дф^дг и
+Т гд$2/дг соответственно. Суперпозиция этих сил равна произведению массы
бесконечно малого элемента на его ускорение. Но масса элемента равна
нулю. Поэтому равна нулю и суперпозиция:
Это уравнение и выражает непрерывность T0dtyjdz. (Заметим, что через То
мы обозначаем равновесное натяжение струны в общем случае, а через Тг и
Т2 - равновесные натяжения струны в среде 1 и среде 2.)
Коэффициент прохождения для амплитуды. Пусть ср (z, t) соответствует
любой из трех волн: смещению, скорости или возвращающей силе. В среде 1
волновая функция ср (z, t) выражается суперпозицией
где в соответствии с (27) и (28) коэффициент отражения R равен Ri2 = (Zi
