Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
поршень, присоединен к концу струны. Другая, неподвижная
216
часть "амортизатора", его выход (относительное смещение входной и
выходной частей "амортизатора" и создает затухание трения), закреплена на
жестком основании. Того же результата мы достигли бы, присоединив выход
"амортизатора" не к жесткому основанию, а к другой струне с бесконечно
большой плотностью массы, простирающейся от 2=0 до оо. Импеданс такой
струны равен бесконечности, и ситуация аналогична той, которая возникает
при обрезании передающей линии и включении ее на согласованную нагрузку.
Если вместо этого выход амортизатора присоединить к струне с импедансом
Z2, простирающейся от 2=0 до со, то в 2=0 импеданс для падающей волны
будет равен импедансу параллельного соединения импедансов амортизатора и
струны Z2. Точно так же, как в случае передающей линии или пустого
пространства, мы можем достичь согласования нагрузки для волн в струне
либо соединив выход амортизатора с жестким основанием, либо соединив
выход со струной, протяженностью в четверть волны; конец струны должен
быть закреплен на кольце, скользящем без трения по стержню. Такое
устройство имеет нулевой импеданс у стержня и бесконечный импеданс у
выхода амортизатора. Этим будет обеспечена неподвижность выхода.
Другие методы согласования нагрузки. Не всегда легко достичь согласования
"передающей линии" и "нагрузки". Если условия работы допускают применение
распределенной нагрузки, занимающей заметный объем, то поглощение без
отражения можно получить и не имея согласованной нагрузки с
сосредоточенными параметрами, какой является, например, "эквивалент".
Так, если мы хотим поглотить без отражения интенсивный пучок света, мы
можем направить его в щель, сделанную в большом светонепроницаемом
картонном ящике. Выложим изнутри стенки ящика черным материалом
(поглотитель) и поставим в нем несколько перегородок, чтобы
воспрепятствовать выходу света. Щель в ящике даже в яркий день будет
выглядеть чернее любого черного тела, например сажи. Такая черная
поверхность и совершенный "эквивалент" неразличимы по своему действию:
излучение, попавшее в щель, не выходит обратно. Щель действует, как
простирающаяся до бесконечности прозрачная среда (воздух).
5.3. Отражение и прохождение
Непрерывная струна. Предположим, что мы имеем полубеско-нечную струну,
простирающуюся от 2=-оо до 2=0, с характеристическим импедансом, равным
Zx. В точке 2=0 струна подсоединена к нагрузке, представляющей собой
амортизатор, с импедансом Z2 (1гф1х). В точке 2=-оо находится передатчик,
генерирующий бегущую волну в направлении +2. Уравнение этой волны имеет
вид
^пад(2, t) = Acos(at-kz). (11)
217
Подставив сюда z=О, получим волну в точке z=0:
^пад(0, 0 = Л cos (0*. (12)
Отражение вследствие несогласованности импеданса нагрузки с импедансом
линии. Последнюю точку струны обозначим L (именно эта точка струны
подсоединена ко входу амортизатора), а вход поршня - через R. (Очевидно,
что это условное обозначение, при котором одна и та же точка обозначена
через L, если считается, что она принадлежит струне, или через R, если
она принадлежит поршню.) Если бы импеданс амортизатора равнялся
характеристическому импедансу струны Zb то мы имели бы случай линии,
согласованной с нагрузкой, и отражения от конца линии не было бы. В этом
случае граничная сила Егр, действующая со стороны поршня (R) на струну
(L), равна
FIV(R,L) = -Z1^^0.'-t) . (13)
В действительности входной импеданс амортизатора Z2 может быть не равен
импедансу линии Zx. Поэтому силу, действующую со стороны поршня на
струну, можно в общем случае представить так:
F(R,L) = FT1>(R,L)+Fm6(R,L), (14)
где Еизб - так называемая избыточная сила. Оказывается, что эта сила
ответственна за возникновение бегущей волны t1>0TP(z, t),
распространяющейся в направлении -г. В связи с этим мы можем считать, что
в точке г=0 действует передатчик, который испускает бегущую волну в
направлении -г. Далее, поскольку мы имеем дело с бегущей волной, должно
быть справедливо соотношение
" дг|'отр (0, t)
•^1 щ Fm6{R,L). (15)
Подставляя это уравнение в уравнение (14) для полной силы и учитывая
уравнение (13), имеем
F (R, L) = -Zt _|_ Zi <%TPg(0, t) _ (16)
С другой стороны, полная реакция амортизатора, т. е. F (R, L),
равна, по определению (см. пример 1 п. 5.2), произведению
скорости точки L на -Z2. Скорость точки L равна суперпозиции скоростей от
падающей и отраженной волны, т. е.
д-ф (0, t) пад
(О, t) дт1>ОТр(0, t) П7)
Ft Ft 1 Ft •
Таким образом,, сила сопротивления движению поршня F (R, L) равна
F (РД.)г^-7 дт|)(0, /) _ у дт|>пад(0, О 7 аТотр(0. О
dt - dt 2 dt ' ' '
218
Приравнивая правые части уравнений (16) и (18), находим для 2=0
-Z
^Фпад j_ 7 ^отр__7 ^ пад 2 ^ОТр
гпад I 7
~ы ^
т. е.
dt
5ij)oTp(0, t)
сУ
Zj z2
Зф"
dt (О, t)
dt
(19)
Коэффициент отражения. Проинтегрировав обе части уравнения (19) (считаем,
что постоянные интегрирования равны нулю), получим
¦фотр (0, /) = Rl2 фпад (0. t) = RW A cos at. (20)
