Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
а = рсоъф, /3 = рзтф.
Соударение в этих новых координатах определяется равенствами
а = /3 = 0.
Новые координаты а, (3 будут уже совершенно произвольными.
Следовательно, в проблеме двух тел состояния движения вблизи какого-нибудь состояния соударения находятся в одно-однозначном непрерывном соответствии с окрестностью точки в двенадцатимерном пространстве. При таком представлении состояния движения при соударении составляют девятимерную поверхность, проходящую через данную точку.
Очевидно, что в известном смысле особенность соударения исчезает при применении указанных координат1.
Вернемся теперь к проблеме трех тел в рассматриваемом случае, т. е. когда два из трех тел, например, Р0 и Pi сталкиваются. Движение,
1 Относительно фактического уничтожения особенностей посредством аналитического преобразования в проблеме трех тел и родственных задачах см. Levi-Civita, «Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi», Annali di Mathematica, ser. 3, vol. 9, 1903.
Проблема трех тел
271
при котором это происходит, характеризуется определенным положением точки соударения, определенным вектором скорости их центра тяжести в момент соударения, направлением касательной к движению в точке соударения и, наконец, предельной полной энергией системы соударяющихся тел. Для определения состояния движения в некоторый момент времени после соударения необходимо, кроме того, знать промежуток времени т, прошедший с момента столкновения.
Для движений, близких к тому, при котором происходит соударение, эти координаты допускают простое обобщение. Например, момент прохождения «перигелия» может быть определен, как такой, когда расстояние PqPi достигает своего минимума, и, таким образом, положение и составляющие скорости центра тяжести, координаты оси, длина перигелия могут быть определены немедленно, так же как постоянная энергии. За угловую координату гр можно взять угол, определяемый плоскостью, делящей пополам малый двугранный угол, образуемый плоскостями, проходящими через Р<уР\, и соответственно векторы скоростей тел Р0? Pi относительно их центра тяжести. Время г определяется, как прежде. Координаты р, могут быть, разумеется, заменены на а, /3, как выше.
Таким образом7 из физических рассуждений становится очевидным, что двойное столкновение представляет собою особенность устранимого типа и что состояния движения при двойном соударении образуют три пятнадцатимерных (аналитических) подмногообразия в восемнадцатимерном многообразии Mi8? соответствующих соударению Pq сР\7 Р1 с Р2 и Ро с Р2.
Если мы к многообразию состояний движения присоединим части его границы, соответствующие двойному соударению, то, очевидно, возможно аналитически продолжать движение сколь угодно далеко, если только при приближении t к некоторому значению t (причем, например, t < t) не имеет места бесконечное множество двойных соударений. Мы сейчас покажем, что этот случай невозможен, если только / > О, как мы до сих пор предполагали.
Во-первых, заметим, что не только R, но и R' должно оставаться непрерывным при двойном соударении. В самом деле, дифференциальные уравнения показывают, что d2^/dt2,d2rj/dt2,d2(/dt2 все непрерывны в момент соударения, так что //, так же как и /?, должно быть непрерывно. С другой стороны, г' не будет непрерывным; но так как
rV2 = (xx’+yy’+zz')2 Si (x2+y2+z2)(x,2+y,2+z'2) sC ^-(U+\K\),
благодаря интегралу энергии (12), то очевидно, что rrf непрерывно и обращается в нуль в момент соударения. Следовательно, Rf остается непрерывным при соударении и принимает значение fippf/R, что следует из (13).
272
Глава 9
Во-вторых, когда t приближается к t, наименьшее из расстояний Гг должно стремиться к нулю. В противном случае мы имели бы Г{ > d > 0 (г = 0, 1, 2) сколь угодно близко к t. Мы видели уже, что благодаря интегралу энергии из этого следовало бы, что все величины ж', yf, z'y г/, С ограничены, так что было бы возможно продолжение движения без соударения в течение определенного промежутка времени, зависящего только от d. Но это невозможно.
В-третьих, R должно стремиться к определенному пределу, когда t приближается к ?; это следует из равенства Лагранжа (15) совершенно так же, как в случае приближения к двойному соударению, поскольку обе величины Rf и R остаются непрерывными при двойном соударении. Исходя из неравенства Сундмана (20) и рассуждая так же, как прежде, мы покажем, что R не может стремиться к нулю, когда t приближается к I.
Отсюда мы заключаем, что, когда t приближается к t, тело Р2 стремится к некоторому определенному предельному положению, отличному от соответствующего общего (тоже определенного) предельного положения тел Ро и Pi. Но физически очевидно и легко может быть показано аналитически, что в этом случае может быть только конечное число соударений при t < t. Таким образом, мы приходим к противоречию.
В многообразии Mi8 состояний движения, к которым мы присоединили состояния при двойном соударении, возможно бесконечное продолжение в обоих направлениях времени каждого движения, для которого / > 0. В случае / = 0 продолжение может стать невозможным только в случае тройного соударения.
