Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что сталкиваются, например, тела Ро и Pi, тогда как Р2 находится от них на некотором расстоянии. Движение тел Р0 и Pi близ точки соударения будет, очевидно, существенно таково же, как в проблеме двух тел. Мы и хотим здесь пренебречь возмущающими силами, вызываемыми телом Р2 в течение того времени, когда тела Р0 и Pi близки к соударению, т. е. заменить функцию U одним ее слагаемым momi/r2 и считать очевидным, что положение вещей будет при этом допущении существенно тем же, что и в рассматриваемом нами случае.
Но если бы движение тел Р0 и Pi было совершенно таким же, как в проблеме двух тел, то их центр тяжести двигался бы по прямой линии с постоянной скоростью, а сами тела Р0 и Pi двигались бы относительно центра тяжести по неподвижной прямой вплоть до момента соударения. Мы можем уточнить это утверждение, сказав, что Р0 и Pi в каждый момент находились бы на расстояниях от этого общего центра тяжести, обратно пропорциональных их массам, а квадрат их относительной скорости был бы равен выражению 2(mo + mi)/r2, увеличенному на некоторую постоянную, значение которой зависит от полной энергии системы относительно центра тяжести. Движение относительно центра
1 Levi Civita, «Sur la regularisation du probleme de trois corps», Acta Mathematica, vol. 42, 1921.
Проблема трех тел
269
тяжести после соударения можно представить себе, как просто переменившее свое направление на обратное. В первоначальной координатной системе тела Р0 и Р\ опишут две кривые с точкой возврата каждая, и соударение произойдет в их общей точке возврата; касательные к обеим кривым в точке возврата будут, разумеется, иметь противоположные направления, и нетрудно было бы определить точно движение тел в этом случае, написав явно формулы движения.
Очевидно, такое движение с соударением в проблеме двух тел характеризуется следующими величинами: во-первых, тремя координатами точки соударения в пространстве; во-вторых, тремя составляющими скорости центра тяжести системы; в-третьих, двумя угловыми координатами ф, определяющими направление в пространстве касательной к кривой движения точки Pi в точке столкновения, которое совпадает с направлением линии движения Pi относительно центра тяжести системы тел Pq и Pi и, в-четвертых, постоянной энергии. Таким образом, всего для того, чтобы однозначно характеризовать состояние системы в момент соударения в задаче двух тел, нужны девять координат. Но для того, чтобы определить состояние движения системы до или после соударения, необходимо еще указать время т вблизи момента столкновения.
Далее, всякое движение, при котором оба тела почти сталкиваются, может быть характеризовано подобным же образом. Здесь предполагается, что начальные условия несколько изменены в какой-то момент, предшествующий соударению. Легко обобщить на случай такого измененного движения вышеприведенные координаты следующим образом: во-первых, вместо координат точки соударения мы можем взять координаты центра тяжести в момент, когда тела подходят ближе всего друг к другу; во-вторых, соответствующие составляющие скорости центра тяжести могут быть взяты по-прежнему; в-третьих, угловые координаты могут относиться к направлению общей оси конических сечений, описанных телами относительно центра тяжести, и, в-четвертых, постоянная полной энергии может быть взята по-прежнему. Если мы незначительно изменим движение этим способом, то эти девять координат тоже изменятся незначительно.
К этим девяти координатам мы должны присоединить еще одну угловую координату определяющую направление плоскости относительного движения тел и длину перигелия р. Всего, таким образом, мы получаем одиннадцать координат, достаточных для определения кривой движения двух тел в общем положении. Для того, чтобы определить какое-нибудь специальное состояние движения, нужно к этим одиннадцати координатам прибавить еще время т, прошедшее с момента наибольшего сближения двух тел.
270
Глава 9
Координата р теряет смысл в частном случае кругового движения тел относительно центра тяжести, но этот случай не может иметь места в рассматриваемых движениях, когда тела почти сталкиваются.
Следовательно, мы получаем всего двенадцать координат, определяющих состояние движения, что, разумеется, соответствует тому факту, что в проблеме двух тел мы имеем систему дифференциальных уравнений двенадцатого порядка.
Рассмотрим несколько внимательнее эти координаты в проблеме двух тел. Шесть координат, определяющих положение центра тяжести в момент наибольшего сближения тел, не подчинены никаким ограничениям. Этим мы хотим сказать, что системы этих шести координат находятся в одно-однозначном соответствии с окрестностью точки в шестимерном пространстве. Подобно этому две координаты, определяющие направление оси соударения, будут произвольными в том же смысле, т. е. будут в одно-однозначном соответствии с окрестностью точки в ($, ^)-сфере, и, разумеется, полная энергия и время т тоже могут принимать любые значения. С другой стороны, длина перигелия р будет всегда положительной, и когда р стремится к нулю, наше движение приближается к исходному движению, при котором имеет место соударение, независимо от значения координаты ф, определяющей положение плоскости движения. Введем теперь вместо р и ф новые координаты а и /3 следующим образом:
