Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
234
Глава 8
всякой кривой движения в М по крайней мере один раз в течение любого, достаточно большого промежутка времени. Если мы будем двигаться от любой точки Р на поверхности S вдоль кривой движения в направлении возрастающего времени, то пересечем снова S в некоторой точке Pi; мы будем писать Pi = Т(Р), определяя, таким образом, одно-однозначное аналитическое преобразование Т поверхности S в себя, которое мы будем считать непрерывным вдоль границы S.
Мы не будем пытаться дать здесь формулировку условий, при которых возможно действительно построить такую секущую поверхность S. Подробности такого построения будут, по видимому, различными для различных случаев (см. главу VI), и их рассмотрение вряд ли дало бы нам особенно много. Такие секущие поверхности S и связанные с ними преобразования Т существуют в весьма широких классах проблем.
Кроме того, мы сделаем предположение, что наша динамическая система транзитивна. Эта гипотеза, несомненно, справедлива в некоторых случаях, как показывает пример, приводимый ниже в § 11, и, по всей вероятности, справедлива вообще, если только не имеются исключительные условия. Однако же, так как присутствие хотя бы одного устойчивого периодического движения, очевидно, влечет за собой ин-транзитивность, этот вопрос не может быть разрешен, пока не решена проблема устойчивости.
Если мы теперь интегрируем гипотезу транзитивности на поверхности 5, то она будет означать, что каковы бы ни были точки Ро и Q0 на этой поверхности, всегда можно найти сколь угодно близкие к этим точкам точки Р, Q и целое число п такие, что Q = Тп(Р).
Предположим теперь, что существует хоть одно периодическое движение общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах. Так как это движение неустойчиво, то для него имеется сеть, образованная соответственными связными множествами Еа, и Ew.
Рассмотрим часть этой сети, отсекающую малую окрестность около инвариантной точки. Эта окрестность состоит из тех точек поверхности 5, которых нельзя достигнуть извне данной области, содержащей инвариантную точку, не пересекая соответствующих ветвей Еа или Е^. Граница этой окрестности не состоит целиком из точек одного из множеств Еа или Е^. Иначе при безграничном повторении преобразования Г-1 или Т образы этой границы продолжали бы лежать в той же части 5, и, таким образом, определилась бы инвариантная часть поверхности S. Вместе с тем очевидно, что при повторении, например, операции Т-1 часть границы, состоящая из точек Еа, стремится к инвариантной точке, а часть, состоящая из точек Ew, должна в кон-
Системы с двумя степенями свободы
235
це концов, достигнуть любой части S. В противном случае часть S, достигнутая образами Ew и заключенная внутри них, даст нам также область поверхности S, инвариантную при преобразовании Т, что исключено гипотезой транзитивности.
Следовательно, множества Еа и Ew, асимптотические к рассматриваемой инвариантной точке при преобразованиях соответственно Т-1 и Т, оба всюду плотны на секущей поверхности S.
Мы уже видели (§1,2 главы VIII), что вблизи такого периодического движения устойчивого типа существует бесконечное множество других периодических движений устойчивого типа, соответствующих инвариантным точкам поверхности S относительно какой-нибудь степени Тп преобразования Т. Рассмотрим какое-нибудь такое движение, которое будет общего устойчивого типа с переменными периодами в формальных рядах. Для него существуют множества и Е^, которые оба должны быть также всюду плотны в S. Но множества Еа и Е^ не имеют общих точек, поскольку одно и то же движение не может быть асимптотическим к двум различным периодическим движениям в одном направлении (в данном случае в направлении отрицательных t). Аналогично не могут иметь общих точек множества Ew и Е^.
Отсюда явствует, что множества Еа и Е^ имеют бесконечное множество общих точек, так же как и множества Е^ и Еы.
В случае транзитивной системы с двумя степенями свободы, если существует периодическое движение общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, то существует бесконечное множество других периодических движений общего устойчивого типа. Движения, положительно или отрицательно асимптотические к какому-нибудь из периодических движений этого бесконечного множествау образуют множества, всюду плотные в S. Существует бесконечное множество движений, асимптотических в направлении положительных t к одному из этих периодических движений и в то же время асимптотических в направлении отрицательных t к любому другому периодическому движению этого множества или даже к тому же периодическому движению.
Мы рассмотрим теперь периодические движения неустойчивого типа и движения, асимптотические к ним.
Как мы уже видели, существуют аналитические семейства движений, асимптотических в положительном и отрицательном направлении к такому периодическому движению. В простейшем случае, рассмотрением которого мы можем ограничиться, имеются две, соответствующие этим семействам, инвариантные аналитические кривые, проходящие через инвариантную точку, причем точки одной из них дают движения, асимптотические в положительном, а точки другой — дви-
