Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть нам дано неустойчивое движение общего устойчивого типа,
Рис. 7
232
Глава 8
с переменными периодами в формальных рядах, и предположим для определенности, что вращение возрастает вместе с удалением от этого периодического движения. Тогда замкнутые связные семейства движений ?а и ?W7 остающиеся в области неустойчивости соответственно при убывании и возрастании t и достигающие границы этой области, являются соответственно достижимыми от этой границы (с левой и с правой стороны).
Возвращаемся к виду ?а на S. Множество ?а должно бесконечно завиваться вправо вокруг неподвижной точки, начиная от точки его пересечения с границей S. Чтобы установить этот факт, целесообразно рассматривать полярные координаты $ и г как прямоугольные координаты, причем ось § направлена налево, а ось г вверх. Тогда поверхность S представится в виде бесконечной полосы, и область этой полосы, расположенная вправо и выше связного множества ?а, не может простираться налево от той точки ?а, которая лежит на границе иначе, очевидно, имелись бы недостижимые области исключенного типа.
Если бы далее ?а не простиралось неограниченно вправо, то оно при этом представлении было бы целиком заключено между двумя вертикальными прямыми. Но результаты § 2 гл. VI показывают, что две точки, из которых одна лежит на оси г — 0, а другая вблизи нее, движутся в направлении оси $ со скоростями столь различными, что могут разойтись на сколь угодно большое расстояние. Поэтому при достаточном повторении преобразования Т-1 кривая ?а (все образы которой при преобразовании Т-1 лежат внутри S) распространится на полосу, сколь угодно широкую в направлении $, и, таким образом, пересечет ?а. Итак, ?а и ее образ ограничат область, которая останется внутри S при всех повторениях преобразования Т-1. Но это приведет нас так же, как прежде, к инвариантной области а. Следовательно, ?а, распространяется бесконечно далеко в направлениях отрицательных ‘д. Отсюда следует, что ?а оборачивается бесконечное множество раз вокруг инвариантной точки в направлении часовой стрелки, в то время как ?w оборачивается бесконечное число раз в противоположном направлении. Отсюда очевидно, что множества ?а и ?w должны пересекаться бесконечное множество раз.
Докажем теперь, что множества ?а, Т-1(?а), Т-2(?а) асимптотически стремятся к точке О равномерным образом. Иначе существовали бы значения щ, п2 ,..., такие, что limщ = оо и что Т-П*(?а) простирались бы за пределы круга фиксированного радиуса г = г$. Следовательно, существовали бы подмножества множеств Т_п*(?а), замкнутые, связанные с точкой О и имеющие по крайней мере одну точку на окружности г = го. Такое подмножество ?^ и его образы Tfe(?^) цели-
Системы с двумя степенями свободы
233
ком расположены внутри области S. Устремляя щ к бесконечности, мы получаем, таким образом, множество Еаи;, замкнутое и связанное с О, простирающееся от О до некоторой точки на г = г0 и такое, что все его образы (при преобразованиях Т и Т-1) находятся внутри S. Кроме того, каждая точка, не принадлежащая множеству Т,аип должна быть достижима извне как справа, так и слева от радиального направления. Отсюда заключаем, что Еаа; должно состоять из радиальных отрезков. Но это невозможно. В самом деле, Т(Еаа;) не имело бы этого свойства, так как Т вращает всякое радиальное направление влево; между тем то же рассуждение показывает, что Т(Еаа;) должно обладать этим свойством(9).
Мы можем резюмировать эти заключения следующим образом.
Семейства ?а и Е^ движений оборачиваются бесконечно много раз по или против часовой стрелки соответственно вокруг периодического движения, в зависимости от того? достижимы ли они слева или справа и. таким образом, пересекаются в бесконечном множестве общих движений. Движения, принадлежащие Еа и Е^? являются соответственно отрицательно и положительно асимптотическими к данному периодическому движению, тогда как бесконечно многие общие движения являются асимптотическими в обоих направлениях к данному периодическому движению.
Соображения, совершенно аналогичные приведенным выше, можно применить к любой зоне неустойчивости. Будут существовать положительно и отрицательно асимптотические связные множества, начинающиеся на одной из границ и достигающие любой окрестности другой границы зоны. Оба множества пересекаются бесконечное множество раз. Кроме того, рассуждениями, аналогичными тем, которые применяются в следующем параграфе, можно доказать, что множество, положительно асимптотическое к одной границе, пересекает множество, отрицательно асимптотическое к другой. Поэтому должно существовать бесконечное множество движений, положительно и отрицательно асимптотических к двум границам в любой из четырех возможных комбинаций.
§ 9. Распределение движений асимптотических к периодическим движениям. До сих пор мы ограничивались рассмотрением непосредственной окрестности периодического движения. Мы обращаемся теперь к рассмотрению совокупности всех движений в многообразии М, которое мы будем считать замкнутым и аналитическим.
При этом мы будем предполагать, что существует секущая поверхность S рода один и соответствующее преобразование Т. Границы поверхности S должны соответствовать периодическим движениям общего устойчивого типа, и S пересекается в одном и том же направлении
