Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
образом, .-.Ц- ф 0. Но это означает, что в выражении тгтч линейном
dq[2 dq[
относительно q[, коэффициент при q[ отличен от нуля. Следовательно,
дЬ
равенство = с разрешимо относительно q[. oq1
4) Согласно § 3 переход от х, у, t к ж, у, t сохраняет нормальную форму уравнений, так как
(х!2 + yt2) dt = (х'2 + у'2) dt.
5) Здесь с — постоянная энергии. Выписанные m интегралов не являются независимыми, ибо, как нетрудно видеть,
га
Y,с* = о-
i=1
6) иу + iux не равно тождественно нулю, так как а — с и b не могут одновременно обращаться в нуль тождественно. В противном случае интеграл V был бы линейной комбинацией W и линейного интеграла. — Прим. перев.
К главе 3
359
7) Здесь предполагается, что эти уравнения однозначно разрешимы относительно г*. Это условие заведомо соблюдается, когда L(qu ... , gm, q[, ... , q'm) есть квадратичная функция q[, ... , qfm и L2 — положительная определенная форма в q[, ... , q'm.
8) Точнее говоря, если qi(t) образуют решение уравнений Лагранжа,
дЬ
то, полагая Г{ = g-, pi = ^-7, получим решение нашей новой вариаци-
онной задачи. В самом деле, уравнения, получаемые варьированием р*, как показано в тексте, суть как раз г* = д'-. Уравнения же, получаемые
dL(q, qf) dL(q, г)
варьированием qi в силу соотношении pi = ----\ ^ , имеют
ВИД д* дГi
= А (Ё1Л = = _f „А , dL у-у dL(q, г) dr:j _ iXL
г dt \dq'J dqi 3 dqt dqi drj dqt dqj
и также выполняются в силу уравнений Лагранжа.
9) Здесь, разумеется, надо предположить, что эти уравнения однозначно разрешимы относительно р.
10) Преобразования (7) и (8), вообще говоря, сводятся друг к другу. Чтобы перейти от (7) к (8), надо лишь ввести новую функцию преобразования
т
K*=K + '?pj<ij
3=1
и выразить ее через gi, ... , дш, pi? ... , рш, t. Обратный переход совершается по формуле
т
K = K*-'?pjqj,
3=1
где К должно быть выражено через gi, ... , gm, , gm, t. — Прим.
перев.
К главе 3
1) Числа Цк определены этими равенствами с точностью до целых
2тгу^1 „ п
кратных --------, что в дальнейшем не следует упускать из виду. От-
носительно этих чисел имеет место следующая известная теорема, полезная в дальнейшем.
360
Примечания редакции
Если уравнения вариации имеют решение, удовлетворяющее условию
Vi{t + т) = e^yiit) (г = 1, ... , п), где \i — постоянная и не все у{ тождественно равны нулю, то \± фигури-
, ШуГЛ
рует среди чисел /ii, ... , /лп (с точностью до слагаемого вида ---,
где I — целое число).
Доказательство.
Решение t/i, ... , уп является линейной комбинацией фундаментальной системы решений
к=1
где ak суть постоянные, не равные нулю одновременно. Это дает
п п
53 °>kCikyu{t) = ^2 а1Уи(*) (* = 1? • • • 5 ™),
к, 1=1 1=1
откуда
п
У" akCik = e^Tai, к=1
и поэтому
| Cij - e**T6ij I = 0.
Следовательно, е^т совпадает с одним из чисел т&, а \± — с одним из чисел lg что и требовалось доказать.
2) Из дифференциальных уравнений для yi следует, что
А\у..\ = V ^ * ti дхк
I УгЗ I *>
х=0
dt
с =0
откуда
/? —
\yij(t2)\ = дХк
Из последнего равенства следует, что определитель \yij(t)\ нигде не обращается в нуль, если yij образуют систему линейно независимых решений.
К главе 3
361
3) Слово «функций» редакция ставит в кавычки, так как в действительности речь идет совсем не о функциях в общепринятом в современной математике смысле этого слова, а о формальных рядах, которые могут и расходиться, не определяя никаких функций.
4) Следует, однако, иметь в виду, что «доказательство» этих свойств, данное Пуанкаре (см. стр. 193-194 цитированной книги), состоит из путаницы, как замечено Винтнером («Amer. J. Math.», 53,1931, 605).
5) Ограничение, наложенное здесь Биркгофом, — отсутствие кратных множителей, выраженное словами «вообще говоря» («in general»), — является лишним. Очень простое доказательство теоремы о группировке гамильтоновых множителей в пары вида (Л, —Л), свободное от этого ограничения, дано, например, в известном мемуаре А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (1-е русск. изд., Харьков, 1892; франц. перевод, «Annales de Toulouse», ser. 2, t. 9, 1907; 2-е русск. изд., Ленинград, 1935).
6) Так как вывод этого утверждения основан не на логических заключениях, а на неясных соображениях, связанных с термином «вообще говоря» («in general»), не имеющим единого точного смысла, то не приходится удивляться тому, что утверждение оказывается ошибочным.
Пусть, например, т = 2, Н = р\ — ql + (pi — P2)(qi + ^2)* Характеристическое уравнение имеет вид
— 1 - А 1 0
-1 1 — А 0
2 0 1 - А
0 0-1
Множителями будут корни этого уравнения, т. е. комплексные числа ±1 ± у/—1.
7) Выражения Мц — Ьц в этом случае вещественны. В самом деле, в силу того, что pi и qi в рассматриваемом случае вещественны при вещественных р{ и qкоэффициенты е^*, Д,-, gij (см. начало §7) вещественны. Но
ш т
Мц = ^ ^ djigji, La — ^ ^ Cjifji. (1)
3=1 i=1
8) То есть с точностью до полной производной.
0
2
1
-1 — А
= А + 4 = 0.
362
Примечания редакции
9) Выражения Мц — Ьц в этом случае чисто мнимые. В самом деле, pi и qi вещественны, если р* = qi {г = 1, ... , га), где * означает сопряженное комплексное число. Отсюда = ejj, f*j = gij. В силу равенств (1) примечания 7 это дает = Мц. Следовательно, Мц — Ьц имеют вид ^гл/—1? где pi вещественны и отличны от нуля. Если они не все положительны, то при г, соответствующих отрицательным pi мы меняем ролями pi и <&, достигая этим положительности всех pi.
