Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
356
Примечания редакции
В случае существования решения x2(t) дальнейшее построение последовательности (1) зависит от возможности распространения этого решения на промежуток а С t С Ь + 2. Если такое распространение возможно, то производим его каким-либо образом и распространенное решение обозначаем через ж3(?). В случае невозможности распространения обрываем последовательность (1) на члене x2(t).
Этот процесс последовательного распространения решения на промежутки а С t С b + п (77, = 1, 2, ...) продолжаем, пока он возможен. При этом, очевидно, могут встретиться два случая: либо процесс окажется продолжаемым до бесконечности, либо он оборвется на некотором к-м шаге.
В первом случае последовательность (1) бесконечна. Так как каждое решение, фигурирующее в этой последовательности, является распространением предыдущего решения, то, полагая
x*(t) = xj(t) (а С t С b + j - 1),
мы получим решение x*(t) уравнений (1) главы I, определенное при а С
< t < оо. Это решение, очевидно, является искомым распространением решения ж(?), не продолжаемым направо.
Во втором случае мы получаем распространение x*(t) решения x(t), определенное при а С t С где b ^ и не допускающее распространения на промежуток а С t С Ь\ + 1. При Ь = Ь\ решение ж*(?), разумеется, совпадает с ж(?), которое мы здесь рассматриваем как распространение самого себя.
Определим теперь последовательность решений
У1^), ... (2)
уравнений (1) главы I следующим образом. Положим уг(Ь) = x*(t) (а < t < bi). Если 2/j*_1(?) уже определено в промежутке а < t < bj-1, то определяем yi(t) в зависимости от того, допускает ли 2/J'_1(?) распространение на промежуток а < t < bj-1 + 2-J+1. Если допускает, то полагаем bj = bj-1 + 2-J+1 и обозначаем через y^(t) одно какое-нибудь из таких распространений. Если же распространение на этот промежуток невозможно, то полагаем просто
bj=bj-1 и = г/*-1(?) (а <* Со-
относительно определенных таким образом решений y^(t) и чисел bj нетрудно установить следующее. Решение y^(t), определенное при а С С t С bj, не допускает распространения на промежуток а С t С bj+2-J+1.
К главе 2
357
При j = 1 справедливость этого утверждения уже известна. Предположим, что оно верно при j = h — 1, и докажем его справедливость при j = 1.
Допустим вопреки этому утверждению, что распространение решения yh(t) на промежуток а < t < bh 4- 2~h+1 возможно. Тогда следует рассмотреть два случая: 1) bh = bh-1 + 2_/l+1, 2) bh = bh-i-В первом случае всякое распространение решения yh(t) на промежуток а < t < bh + 2_/i+1 будет вместе с тем распространением решения yh~1(t) на промежуток а < t < bh-i + 2-/l+2, что невозможно, согласно индуктивному предположению. Второй случай имеет место только тогда, когда решение уh~1(t) не допускает распространения на промежуток а < t < bh-1 + 2_/i+1. В этом случае решение yh(t) совпадает с решением и потому также не допускает распространения
на этот промежуток вопреки допущению. Этим наше утверждение доказано при /г = 1,2,...
Так как 0 ^ bj-i ~ bj ^ 2_J*+1, то последовательность чи-
сел &i, 62, • • •, не убывая, стремится к некоторому пределу 6*. Так как в последовательности (2) каждое решение является распространением предыдущего решения (включая случай тождества этих решений), то, полагая
y*(t)=yJ(t) (а < t < bj),
мы получим решение y*(t) уравнений (1), определенное при а < t < Ь*. Это решение, очевидно, является распространением исходного решения x(t).
Наконец, принимая во внимание, что lim bj = b* и что реше-
j-юо
ние yJ(?), определенное при а < t < bj, не допускает распространения на промежуток а < t < bj + 2-J+1, заключаем, что решение y*(t) непродолжаемо направо, что и требуется доказать.
Разумеется, совершенно аналогичная лемма имеет место относительно распространения решений налево. Отсюда следует, что для всякого решения x(t) уравнений (1), определенного при а < t < 6, существует решение x*(t) этих уравнений, не продолжаемое ни направо, ни налево и являющееся распространением решения x(t) (включая случай совпадения этих решений). Наконец, принимая во внимание лемму 2 и аналогичную лемму относительно решений, не продолжаемых налево, убеждаемся в справедливости утверждения, приведенного в тексте.
358
Примечания редакции
К главе 2
1) См. также Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, I. Москва, 1933, стр. 174-175. Из рассуждения в тексте ясно, что понятие стационарности интеграла (1) не изменится, если в его определении заменить условия обращения в нуль разностей ж*(?, Л) — x®(t) вблизи концов промежутка (?q, ti) условием их обращения в нуль на этих концах.
2) Квадратичная форма F(xi, ... , хт) в переменных х\, ... , хш называется положительной определенной, если F(xi, ... , хт) > 0 при всяких вещественних Х{, не равных сплошь нулю.
3) Из равенства — с величина q[ может быть определена как
^Чъ
функция q2, ... , gm, q2, .. • , Ят- В самом деле, так как Ь2 по предположению положительная определенная квадратичная форма в q[, ... , q'm, то коэффициент в этой форме при q[2 отличен от нуля, ибо в противном случае мы имели бы Ь2 = 0 при q[ = 1, q'2 = ... = qfm = 0 вопреки определению, сформулированному в предыдущем примечании. Таким
