Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
353
(1) средняя длина п последовательных хорд траектории стремится к определенному пределу, одному и тому же вне зависимости, увеличивается или уменьшается время ?;
(2) средний угол в для п последовательных столкновений стремится к определенному предельному значению;
(3) для любой заданной области стола доля времени, проводимого в ней бильярдным шаром, пропорциональна ее площади.
Существует один особо интересный случай, который, насколько известно, фактически может быть «общим случаем»: Может случиться, что все точки нашего объема в среднем ведут себя существенно одинаковым образом (конечно же, не принимая во внимание исключительного множества меры 0). В противном случае, все пространство может разбиваться на инвариантные измеримые множества. Так, например, для эллиптического стола, движение полностью заполняет кольцо за пределами некоторого меньшего софо-кусного эллипса, это кольцо образует такое замкнутое инвариантное множество; эта интегрируемая задача — предельный случай геодезического потока на поверхности сплющенного эллипсоида.
Что означает эргодическая теорема, грубо говоря, заключается в том, что для дискретного сохраняющего меру преобразования или сохраняющего меру потока конечного объема, вероятности и взвешенные средние стремятся к пределам, для определенного начального состояния Р (не принадлежащего исключительному множеству меры 0) и, кроме того, предельные значения одинаковы для обоих направлений.
Эргодическая теорема применяется к разнообразным серьезным задачам анализа и прикладной математики — как ко всей солнечной системе, так и к простой задаче бильярдного шара! Так, в известной идеализации для системы Земля-Солнце-Луна Дж. У. Хилла (ограниченная задача трех тел), можем сразу же утверждать (с вероятностю 1), что Луна обладает истинно средним угловым вращением вокруг Земли (измеренное через период), одинаковым в обоих направлениях времени.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ
К главе 1
1) На русском языке см. Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, ГТТИ. 1933, стр. 52-53.
2) Строгое доказательство этого утверждения может быть проведено следующим образом.
Лемма 1. Если решение x(t) уравнений (1) главы I определено в промежутке а < t < Ъу где Ъ < оо, то при t —» Ъ точка x(t) стремится к некоторому предельному положению.
Это является непосредственным следствием интегральных уравнений (2) и ограниченности функции X. Отсюда следует
Лемма 2. Если при соблюдении условий предыдущей леммы решение x(t) не может быть распространено ни на какой промежуток а <
< t < с, где b < с, то при t b точка x(t) стремится к точке границы множества R.
В самом деле, допустим противное. Тогда согласно предыдущей лемме при t b точка x(t) должна стремиться к точке самого множества R. Обозначим последнюю через х1. Расстояние ее от границы множества R обозначим через D. Имеем D > 0. Положим
с = Ъ+ D
у/пМ
Имеем Ъ < с. Согласно теореме существования, существует решение х = y(t) уравнений (1), определенное при \t — b\ < с — Ъ и такое, что у(Ъ) = х1. Положим
Г x(t) при а < t < Ь,
I y(t) ПРИ Ь < с.
Тогда z(t) будет распространением решения x(t) на промежуток а <
< t < с.
К главе 1
355
В самом деле, при t / Ъ составляющие z(t) вектора z(t) удовлетворяют уравнениям (1) по определению y(t) и z(t). При t = Ъ эти составляющие непрерывны, так как у(Ъ) есть предельное положение x(t) при t Ь. Наконец, имеем интегральные уравнения:
t
Zi{t) = Zi(to) 4- J X*[zi(u), .. • , Zn(u)\ du (a < t < 6),
to
t
Zi(t) = Zi(b) 4- j Xi[zi{u), ... , zn(u)] du (b ^ t < c), b
где to произвольное фиксированное число между а и Ь. В силу непрерывности функции zj(u) и Х{ первая система уравнений соблюдается и при t = b. Принимая это во внимание и пользуясь второй системой уравнений, заключаем, что первая система уравнений соблюдается при всяком ?, принадлежащем промежутку а < t < с, откуда и следует, что z(i) является решением уравнений (1), определенным в этом промежутке.
Таким образом, решение x(t) может быть распространено на промежуток а < t < с, где с > b вопреки предположению. Этим лемма доказана.
Условимся теперь говорить, что решение x(t) уравнений (1), определенное в промежутке а < t < 6, продолжаемо направо (налево), если оно может быть распространено на промежуток а < t < с (с < t < 6), где с > Ь (с < а). Тогда имеем следующее утверждение.
Лемма 3. Если решение x(t) уравнений (1), определенное при a<t<b, продолжаемо направо, то оно может быть так распространено на промежуток а < t < с7 где с > Ъ7 что распространенное решение уже не будет продолжаемо направо.
Доказательство.
Определим прежде всего конечную или бесконечную последовательность решений
x'it), x2{t), ... (1)
уравнений (1) главы I следующим образом. Положим x*(t) = x(t) (а < t < b). Если х1(t) может быть распространено на промежуток а < t < Ъ + 1, то распространяем его на этот промежуток каким-либо образом и распространенное решение обозначаем через x2(t). Если же такое распространение невозможно, то обрываем последовательность (1) уже на первом члене.
