Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Например, множество рациональных точек х = т/щ всюду плотное на отрезке, является множеством меры 0. По сути, эти точки могут быть упорядочены
niII2131234
’ 2’ 3’ 3’ 4’ 4’ 5’ 5’ 5’ 5’
и n-ая точка этой последовательности очевидно, может быть заключена на интервале длиной е/2п. После чего, имеем
откуда ясно, что множество рациональных точек меры 0.
В более общем виде, если имеется множество М такое, что оно может быть заключено в множестве интервалов длиной /i, /2, ..., причем
^1 + ^2 + • * • ^ I + ?>
в то время как дополнение множество М, аналогично, может быть заключено внутри интервалов Zi, /2, ... с
l\ + Н- • • • ^ (1 — I) S
при произвольно малом е > 0, тогда М считается измеримым с мерой /; ясно, что ее дополнительное множество М будет измеримым с мерой 1 — В таком случае вероятность того, что случайная точка попадает в М, должна полагаться равной /.
Все обычные бесконечные множества, определенные, в частности, аналитическими методами, оказываются в этом смысле измеримыми.
Сущность эргодической теоремы сейчас может быть пояснена при помощи рассмотренного отрезка прямой.
Предположим, что задано произвольное взаимно однозначное сохраняющее меру преобразование Т отрезка 0 ^ ж ^ 1 в себя; Т может иметь конечное или бесконечное количество разрывов. Приведем первый простой пример. Представим, что отрезок прямой 0 ^ х < 1 изогнулся в окружность с длиной 1 без какого-либо растяжения; первое преобразование Т является обычным поворотом этой окружности на некоторый угол а. Второй простой пример: отрезок прямой разделен на бесконечное множество интервалов
Что такое эргодическая теорема?
351
и тогда второй интервал переставляется с первым, четвертый с третьим, и так далее, определяя, таким образом, преобразование Т. В обоих случаях преобразование Т сохраняет меру.
Тогда эргодическая теорема гласит, что: Для любого, сохраняющего меру преобразования Т, и для каждой отдельной точки Р (кроме, вероятноисключительного множества меры 0) существует определенная вероятность того, что итерации Р
Р, Т(Р), Т2(Р),
Р, Т~ (Р), Т~ (Р), ...
попадают в заданное измеримое множество М.
Другими словами, для п этих точек (начиная с Р) доля точек, которые лежат в множестве М, стремится к определенному ограничению /хр в то время как п стремится к бесконечности в обоих направлениях.
В более общем случае, отрезок прямой может быть заменен конечным n-мерным объемом М при п > 1, а для точек из М может быть определен переменный (интегрируемый) положительный вес w(P). Тогда обобщенная теорема будет утверждать, что соответствующие взвешенные средние стремятся к пределу цр. В элементарном специальном случае, указанном вначале, этот вес равен 1 для точек из М и нулю для точек вне М. При п > 1 дискретное преобразование Т может быть заменено на стационарный сохраняющий меру поток Tt со временем ?, при этом справедлива сходная теорема.
Для того, чтобы пояснить эту последнюю возможность, положим, что в квадрате 0 ^ ж<1, 0^з/<1 точки двигаются с постоянной скоростью в фиксированном направлении, составляющей угол а с осью х и, покидая квадрат, возвращаются в него в гомологичной точке (см. рис. 18.). Очевидно, что такое преобразование Tt сохраняет площадь.
Пусть теперь М будет произвольно выбранной измеримой частью квадрата, и Р — произвольной точкой квадрата, которая не принадлежит возможному исключительному множеству меры 0. На основании этой же теоремы заключаем, что для бесконечного времени t ^ 0 или t ^ 0 существует определенная вероятность того, что точка Pt = Tt(P) попадает внутрь М и эта вероятность одинакова в обоих направлениях. Обобщение для произвольного w(P) справедливо и в случае «потока» и в дискретном случае.
В более аналитическом виде, для этих двух случаев п—> ± оо,
352
Приложения
Т —> =Ьоо теорема записывается, соответственно, как:
w(P) + w(T(P)) + ...wiT^iP))
Различные применения эргодической теоремы к динамическим системам чрезвычайно разнообразны и любопытны. Возьмем простой пример идеального выпуклого бильярдного стола, на котором идеальный бильярдный шар Р двигается со скоростью 1. На рис. 19 положим ф = arc О А, ф\ = arcOAi, I = AP,L* = АА\. Имеем преобразование (01,02) = Т(0,0) определенное в прямоугольнике
на 00-плоскости, соединенное с движением. Нетрудно доказать, что Т является множеством, сохраняет меру в том смысле, что двойной интеграл
имеет одно и то же значение для любой измеримой части этого прямоугольника и для ее образа при отображении Т; действительно, возможно так изменить форму прямоугольника, что для новой области преобразование сохраняет обычную площадь.
Кроме того, ясно, что если зададим любое «состояние движения» бильярдного шара, как точки Р тремя координатами 0, 0, /, тогда стационарный поток Tt определен в соответствующей области трехмерного 00/-пространства:
Таким образом, теорема применима к этому потоку.
Приведем три явные применения к этой простой, но типичной динамической задаче:
О<0<7г; 0^0^ р, (р = периметр стола)
При этом сохраняется следующий интеграл по объему:
Что такое эргодическая теорема?
