Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
также найдены новые явления в поведении гамильтоновых систем,
препятствующие их интегрируемости. К ним относятся:
- сложное топологическое строение конфигурационного пространства;
- расщепление и трансверсальное пересечение асимптотических многообразий;
- ветвление решений в плоскости комплексного времени;
- квазислучайные колебания;
- малые знаменатели в высших приближениях теории возмущений.
С их помощью удалось строго показать отсутствие нетривиальных интегралов
и групп симметрий в ряде классических задач динамики: в ограниченной
задаче трех тел, при вращении тяжелого несимметричного тела с неподвижной
точкой, при движении твердого тела в идеальной жидкости, в задаче четырех
точечных вихрей на плоскости и многих других. В каждой из этих задач
результат о неинтегрируемости основывается на анализе особенностей
качественного поведения фазовых траекторий. В итоге, на мой взгляд,
сложилась самостоятельная часть теории гамильтоновых систем со своими
характерными задачами, методами и результатами. Цель книги - дать
систематическое изложение современных идей и результатов этой теории.
18
ГЛАВА I
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
Существуют различные подходы к изложению теории гамильтоновых систем. С
ними можно познакомиться по книгам [11, 53, 157, 163]. В этой главе мы
напомним определения основных объектов гамильтоновой механики, а также
рассмотрим несколько конкретных гамильтоновых систем, которые в качестве
примеров неоднократно будут использованы нами в дальнейшем.
§ 1. Уравнения Гамильтона
1. Начнем с аксиоматического определения скобки Пуассона, идея
которого восходит, по-видимому, к Дираку [193]. Пусть М - четномерное
многообразие. Множество всех бесконечно дифференцируемых функций / : М ->
R обозначим С'Х(М). Симплекти-ческой (канонической) структурой Е на М
называется билинейное отображение { , } : С"Х(М) х С°°(М) -> С°°(М),
удовлетворяющее следующим условиям:
1) - -{ff>/} (кососимметричность);
2) {/<7, h} - f {д, h} + g{f, h} (правило Лейбница);
3) {{/iffbM + {{ffiMi/} + {{^i/liff} = 0 (тождество Якоби);
4) если точка т 6 М не является критической для функции /, то существует
такая гладкая функция д, что {f,g}(m) ф 0 (невырожденность).
Пара (М, Е) называется симплектическим (каноническим) многообразием.
Функция {f,g} называется скобкой Пуассона функций fug. Скобка Пуассона
превращает линейное пространство С°°(М) в бесконечномерную алгебру Ли над
полем Ш. Ее центр (множество элементов, коммутирующих со всеми элементами
алгебры) состоит лишь из постоянных функций.
Теорема (Дарбу). В малой окрестности любой точки на М существуют такие
локальные координаты (а-д,...,хп, гд,, уф)
19
Глава I. Гамильтонова механика
. , .... ,, , / df дд df дд
(:2п = d,mМ), что {/,"} = ? (^-^ -
Координаты х, у называются симплектическими (каноническими).
Доказательство теоремы Дарбу можно найти в книгах [11, 41].
2. Пусть Н : М -* М - гладкая функция. Гамильтоновой системой на (М,Е)
с функцией Гамильтона Н называется дифференциальное уравнение
F={F,H}, FeC°°{M). (1.1)
Его решения - такие гладкие отображения т : Д -> М (Д - интервал в R),
что для любой функции F ? С'Х(М) выполнено
dF(m(t)) w / nw \
соотношение -----^----= {F, Н} [m(t)j (t ? Д).
В симплектических координатах х,у уравнение (1.1) эквивалентно 2н
каноническим уравнениям Гамильтона:
Г ГТЛ дН г 9Н ,
х{ = {Xi,H} = - , у{ = {уиН} =- - , 1^г^п.
ли ввести кососимметричную матрицу J единичная (п х п)-матрица. Если (ж,
у) = z, то
0 Е
-Е 0
где Е
Тдн п 0\
z = J- . (1.2)
Многообразие М называется пространством состояний или фазовым
пространством гамильтоновой системы (1.1), а величина (dimM)/2 - числом
ее степеней свободы. Часто приходится рассматривать неавтономные
гамильтоновы системы, в которых гамильтониан Н зависит явно от времени.
Гамильтоново векторное поле (1.2) для краткости будем обозначать vh(z).
3. Диффеоморфизм : М -> М называется каноническим, если он сохраняет
скобку Пуассона: {/ о tp,g о <р}(т) = {/, д}(<р(тп)). Канонические
диффеоморфизмы симплектического многообразия (М,Е) образуют, конечно,
группу*). Фазовый поток д1н любой гамильтоновой системы на М является
однопараметрической подгруппой группы канонических диффеоморфизмов М.
*) "... Всякий раз, когда приходится иметь дело с некоторым объектом Е,
наделенным структурой, попытайтесь определить группу его автоморфизмов...
Вы можете рассчитывать на то, что на этом пути вам удастся глубоко
проникнуть во внутреннее строение объекта Е" (Г. Вейль, "Симметрия").
20
§ 1. Уравнения Гамильтона
В локальных симплектических координатах условие каноничности отображения
ip : х,у -> X,Y можно представить в любом из следующих двух эквивалентных
условий:
1) для каждого замкнутого контура 7
iydx = jydX (= Y(x,y)dX(x,y)j ,
где Г - образ контура 7 при отображениии <р\
2) DTJD - J, где D - матрица Якоби отображения <р.
В новых координатах (X,Y) = Z уравнения (1.2) снова будут иметь
гамильтонов вид Z = JdK(Z)/dZ, причем K{Z) = H(z).
